Уровни Ландау и теория групп

[Kirill_Sal]

Здравствуйте, уважаемые форумчане.
Меня уже достаточно давно интересует один вопрос, в котором я хотел бы разобраться.
Решение уравнения Шредингера для электрона в однородном магнитном поле известно - это уровни Ландау. Квантование поперечных состояний при этом имеет вид, аналогичный гармоническому осциллятору. Также мы знаем, что это решение верно только для однородного магнитного поля, - случая, в котором гамильтониан инвариантен относительно преобразований плоскости, перпендикулярной направлению магнитного поля. Этот результат мне кажется нетривиальным и я хотел бы разобраться поглубже, можно ли вывести в этой задаче какую-то связь между группой симметрии

$SO(2)\times{T_{xy}}$

и тем фактом, что поперечный гамильтониан системы имеет вид осциллятора?

Давайте посмотрим на задачу с обратной стороны. Предположим, что мы ничего не знаем о магнитном поле, кроме свойства поперечности. Мы не знаем, будет ли оно калиброчно-симметрияным. Не знаем мы также и вид гамильтониана:

$\hat{H}=(1/2m)(\vec{p}-(e/c)\vec{A})^2$

Однако мы интуитивно понимаем, что однородность поперечного поля $H_{z}$, наложенного на систему, означает инвариантность гамильтониана относительно преобразований в плоскости $O_{xy}$. Затем ставим некий эксперимент, из рез-тов получаем, что поперечные состояния системы квантуются по закону $~(n+1/2)$. Из этого мы можем сделать вывод, что поперечная часть гамильтониана $\hat{H}$ должна иметь вид суммы квадратов. Математически это означает, что $\hat{H}$ можно представить в виде:

$\hat{H}=(\hbar\omega/2)(\hat{a^{+}}\hat{a}+\hat{a}\hat{a^{+}})$,

где $\hat{a^{+}}$, $\hat{a}$ - формальные операторы уничтожения и рождения неких квазичастиц, передающих взаимодействие $H_{z}$.

Очевидно, что это простейший вид гамильтониана, инвариантного относительно перемены местами операторов рождения и уничтожения, т.е.такого, что

$\hat{H}(\hat{a^{+}},\hat{a})=\hat{H}(\hat{a},\hat{a^{+}})$.

Если я правильно понимаю, в общем случае это не так (или не правильно понимаю?)
А сейчас конкретные вопросы: можно ли теперь связать инвариантность относительно группы движения в плоскости $xy$ с инвариантностью относительно перемены операторов рождения и уничтожения местами или, проще говоря, тем, что гамильтониан в этой задаче - сумма квадратов? Можно ли (при минимальных дополнительных предположениях) из этой связи вывести калибровочное свойство магнитного поля?
P.S. По правде сказать, я очень (очень) много накалякал, пытаясь ответить на эти вопросы, т.к.уверен, что связь должна быть. Приводить пока не хочется, т.к.ни в теории групп, ни в КТП я не эксперт. Говоря проще, я просто их вообще не изучал. Буду благодарен, если кто-то подтолкнет меня на правильные мысли, посоветует литературы или отговорит от этой идеи.
P.P.S. Если мои исходные предположения верны, то я также придумал одну очень прикольную интерпретацию этой задачи . Думаю, что копаться в подобных вещах и пытаться на них посмотреть с разных сторон - полезное занятие. В своих лекциях по гравитации Р.Фейнман выводит (на эвристическом уровне) из минимальных предположений основные свойства гравитации на языке КТП. Дух захватывает . Кстати, в его же книжке про интегралы что-то говорилось про сумму квадратов. Надо будет найти.
Подытоживая, я просто хочу понять, можно ли решить эту задачу, не решая уравнений.

[Red_Herring]

О каком Шредингере идет речь? Если о двумерном, то у него действительно спектр чисто точечный бесконечнократный и собственные значения—уровни Ландау (магнитное поле постоянно, электрического нет).

Если о трехмерном, то там будет еще свободное движение вдоль поля и спектр абсолютно непрерывный

[Kirill_Sal]

В уравнении Шредингера в этой задаче переменные разделяются. Для простоты в этой задаче будем говорить о двухмерном уравнении для $\Psi(x,y)$. Нас интересует только оно. Эту часть решения обычно называют "поперечными" состояниями. Аналогично гамильтониан разделяется на "продольный" и "поперечный". Соответственно, осцилляторный вид должен иметь поперечный гамильтониан.

[amon]

Kirill_Sal в сообщении #1002803 писал(а):

Если я правильно понимаю, в общем случае это не так (или не правильно понимаю?)

Любой симметричный ($A^+=A$) оператор можно записать в $\operatorname{Sym}$-форме (по-Вашему, $A(a^+,a)=A(a,a^+)$)

[Kirill_Sal]

Это так, но мне кажется, что дело немного сложнее. Для произвольного взаимодействия сложно ввести операторы рождения и уничтожения, имеющие ясный физический смысл. Наиболее логичным образом они возникают в задаче о состояниях гармонического осциллятора или в твердом теле в задача о колебаниях кристаллической решетки (квазичастица - фонон). Также это получается сделать в нашей задаче.
Дело в том, что симметричная сумма (сумма квадратов) линейна по каждому из операторов. Если магнитное поле неоднородно, то ситуация, может усложниться. Я к завтрашнему дню постараюсь более четко сформулировать, что именно так на мой взгляд прекрасно в сумме квадратов.
Кстати, вы подтолкнули меня к интересной мысли. Если частица - электрон, то с учетом спина:

$E_{n,\sigma}=(n+1/2+\sigma)\hbar\omega_{H}$ и существует вырождение:

$E_{n+1,-1}=E_{n,+1}$

Слабая неоднородность магнитного поля (ангармонический осциллятор) убьет это вырождение, а значит и определенную симметрию системы. Должно быть, однородность пространства в двухмерной задаче можно связать с поворотом спина частицы. Если идею с операторами обобщить на задачу для $\Psi(x,y)\chi(\sigma)$, то может получиться что-то интересное.

[Munin]

Kirill_Sal в сообщении #1002827 писал(а):

Для произвольного взаимодействия сложно ввести операторы рождения и уничтожения, имеющие ясный физический смысл.

Может быть, можно ввести лестничные операторы? Один повышает уровень энергии, пробегая все по очереди, другой понижает в обратном порядке. И ясный физический смысл тут как тут.

[Kirill_Sal]

Не совсем понял, что за лестничные операторы? Разве мы не об одном и том же?

На самом деле я задался вопросом, можно ли связать симметрию пространства с тем фактом, что гамильтониан является суммой квадратов. Я никак не верю, что это случайно, и пытаюсб найти этому объяснение.

Операторы рождения и уничтожения - это лишь один из возможных подходов. Почему я решил выбрать именно его?

Рассмотрим ситуацию с классической точки зрения, чтобы затем обобщить на квантовый случай. Если поле однородно, то электрон просто вращается по окружности в плоскости $xy$. Теперь если постепенно увеличивать неоднородность магнитного поля, электрон начнет дрейфовать, - то есть, появится поступательная составляющая движения. Посмотрим, что при этом принципиально изменяется в характере взаимодействия с корпускулярной точки зрения. Для этого рассмотрим систему электрон $+$ подсистема, создающая магнитное поле (назовем ее "провод"). Будем считать, что взаимодействие происходит засчет обмена квазичастицами между электроном и проводом с током. Рассмотрение проведем в системе отсчете неподвижного наблюдателя.

1 случай. Поле однородно. Электрон вращается по окружности в плоскости $xy$. Очевидно, что в этом случае подсистемы могут обмениваться квазичастицами, посылая их по одинаковым траекториям.

2 случай. Поле неоднородно. Появляется поступательная составляющая движения. Процесс обмена квазичастицами принципиально меняется по сравнению со случаем 1, - теперь их уже нельзя отправлять от одной подсистемы к другой по одинаковым траекториям, иначе вылетевшая из провода квазичастица не будут успевать за движущимся электроном.

Согласно принципу соответствия в квантовой механике неоднородность поля должна испортить какое-то замечательное свойство оператора $\hat{H}(\hat{a},\hat{a^+})$, которое справедливо для поля однородного. Я пока не понимаю, что это за свойство.

Если на самом деле никакие свойства не портятся, в чем я сильно сомневаюсь, то находить связь нужно другим образом. Нужно искать внутреннюю симметрию, которая пропадает, как только поле становится неоднородным. Предположение со спином я уже высказал, но это верно только для электрона.

P.S. кстати, из классического рассмотрения, приведенного выше, можно смастерить очень заковыристую олимпиадную задачу по электродинамике СТО.

[Kirill_Sal]

Вот что получается для электрона.
Рассматриваем двухмерную задачу с магнитным полем. Допустим нам известно 3 факта:

1) $M\hat{H}=\hat{H}$, где $M$ - преобразование плоскости (поле однородно);

2) Существует вырождение уровней $E(n,\sigma)$:

$E(n,+1/2)=E(n+1,-1/2)$;

3) $E(n)\sim(n+1/2)$;

Из 2) и 3) делаем вывод, что

$E(n,\sigma)\sim(n+1/2+\sigma)$

Факт вырождения означает определенную симметрию, связывающую поворот спина с переходом между энергетическими уровнями. В соответствии с тем, что гамильтониан должен иметь осцилляторный вид, запишем его в виде:

$\hat{H}=(\hbar\omega/2)(\hat{c^+}\hat{c}+\hat{c}\hat{c^+})$

Однако эти операторы будут действовать не как лестничные, а похитрее:

$\hat{c}|n,s>=|n+1,-1/2>$

Все это значит, что существует определенная группа симметрии системы, соответствующая инвариантности гамильтониана относительно перемены местами этих хитрых операторов (назовем ее группой $P$).

Исходя из вида гамильтониана и симметрии пространства в однородном поле делаем вывод, что в этой задаче:

$SO(2)\times{T_{xy}}\cong{P}$, т.е.есть определенная связь между внутренней и внешней симметрией системы. Кстати, задаются такие связи в явном виде?

Почему это не так для неоднородного поля? Однозначно должно изчезать какое-то хорошее свойство гамильтониана, записанного через эти операторы. Понятное дело, что не Эрмитовость. Может быть линейность по каждому из них, но как это доказать я не знаю, поэтому по-прежнему жду, чтобы мне помогли получше разобраться, т.к.я серьезно путаюсь.
И еще вопрос: похоже, что внутренняя симметрия $P$ существует только для электрона? Чем он так особенен, кроме того, что его магнитный момент равен магнетону Бора и знак спина удается занести под одну скобку с $n+1/2$?


-- 12.04.2015, 15:47 --

P.S. Полуклассическое рассмотрение, которое я приводил в предыдущем сообщение, вряд ли правильно. Однако, мне оно кажется интересным и если кто-то захочет подискутировать, как сделать эту интерпретацию правильно, буду очень рад.

[amon]

Kirill_Sal в сообщении #1002993 писал(а):

Вот что получается для электрона.

Как выглядит взаимодействие электрона с магнитным полем? Если $g(\mathbf{\sigma B})$, то спектр не такой, как Вы пишете.

[Kirill_Sal]

Я не совсем понял вопрос, но вообще ЛЛ &112 формула (112,8), в которой мы рассматриваем только поперечную часть, и последний абзац этого же параграфа.

[amon]

А это

Kirill_Sal в сообщении #1002993 писал(а):

$E(n,\sigma)\sim(n+1/2+\sigma)$

тогда откуда? Должно быть $E(n,\sigma)\sim(n+1/2+\frac{\mu\sigma}{s}H)$

[Kirill_Sal]

Общий вид поперечных состояний:

$E_{n}=\hbar\omega_{H}(n+1/2)-H\mu\sigma/s$, где

(1) $\omega=|e|H/mc$;

(2) для электрона $\mu/s=-|e|\hbar/mc$;

Из (1) и (2) получаем:

$E_{n}=\hbar\omega_{H}(n+1/2+\sigma)$

[amon]

Виноват, лоханулся.

[Kirill_Sal]

Вообще, изначально я хотел, чтобы мне помогли разобраться, но т.к.постановка задачи да и сама задача не совсем стандартная, может в дискусионных темах это обсуждение будет уместнее.

[Munin]

Kirill_Sal в сообщении #1002834 писал(а):

Не совсем понял, что за лестничные операторы? Разве мы не об одном и том же?

В случае осциллятора - об одном и том же. Но понятие "лестничный оператор" может быть введено для произвольного гамильтониана - и я указал, как. А у вас с операторами рождения и уничтожения, как я понял, с этим были трудности.