2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Уровни Ландау и теория групп
Сообщение11.04.2015, 23:47 
Заморожен


24/06/14
358
Здравствуйте, уважаемые форумчане.
Меня уже достаточно давно интересует один вопрос, в котором я хотел бы разобраться.
Решение уравнения Шредингера для электрона в однородном магнитном поле известно - это уровни Ландау. Квантование поперечных состояний при этом имеет вид, аналогичный гармоническому осциллятору. Также мы знаем, что это решение верно только для однородного магнитного поля, - случая, в котором гамильтониан инвариантен относительно преобразований плоскости, перпендикулярной направлению магнитного поля. Этот результат мне кажется нетривиальным и я хотел бы разобраться поглубже, можно ли вывести в этой задаче какую-то связь между группой симметрии

$SO(2)\times{T_{xy}}$

и тем фактом, что поперечный гамильтониан системы имеет вид осциллятора?

Давайте посмотрим на задачу с обратной стороны. Предположим, что мы ничего не знаем о магнитном поле, кроме свойства поперечности. Мы не знаем, будет ли оно калиброчно-симметрияным. Не знаем мы также и вид гамильтониана:

$\hat{H}=(1/2m)(\vec{p}-(e/c)\vec{A})^2$

Однако мы интуитивно понимаем, что однородность поперечного поля $H_{z}$, наложенного на систему, означает инвариантность гамильтониана относительно преобразований в плоскости $O_{xy}$. Затем ставим некий эксперимент, из рез-тов получаем, что поперечные состояния системы квантуются по закону $~(n+1/2)$. Из этого мы можем сделать вывод, что поперечная часть гамильтониана $\hat{H}$ должна иметь вид суммы квадратов. Математически это означает, что $\hat{H}$ можно представить в виде:

$\hat{H}=(\hbar\omega/2)(\hat{a^{+}}\hat{a}+\hat{a}\hat{a^{+}})$,

где $\hat{a^{+}}$, $\hat{a}$ - формальные операторы уничтожения и рождения неких квазичастиц, передающих взаимодействие $H_{z}$.

Очевидно, что это простейший вид гамильтониана, инвариантного относительно перемены местами операторов рождения и уничтожения, т.е.такого, что

$\hat{H}(\hat{a^{+}},\hat{a})=\hat{H}(\hat{a},\hat{a^{+}})$.

Если я правильно понимаю, в общем случае это не так (или не правильно понимаю?)
А сейчас конкретные вопросы: можно ли теперь связать инвариантность относительно группы движения в плоскости $xy$ с инвариантностью относительно перемены операторов рождения и уничтожения местами или, проще говоря, тем, что гамильтониан в этой задаче - сумма квадратов? Можно ли (при минимальных дополнительных предположениях) из этой связи вывести калибровочное свойство магнитного поля?
P.S. По правде сказать, я очень (очень) много накалякал, пытаясь ответить на эти вопросы, т.к.уверен, что связь должна быть. Приводить пока не хочется, т.к.ни в теории групп, ни в КТП я не эксперт. Говоря проще, я просто их вообще не изучал. Буду благодарен, если кто-то подтолкнет меня на правильные мысли, посоветует литературы или отговорит от этой идеи.
P.P.S. Если мои исходные предположения верны, то я также придумал одну очень прикольную интерпретацию этой задачи :D. Думаю, что копаться в подобных вещах и пытаться на них посмотреть с разных сторон - полезное занятие. В своих лекциях по гравитации Р.Фейнман выводит (на эвристическом уровне) из минимальных предположений основные свойства гравитации на языке КТП. Дух захватывает :D. Кстати, в его же книжке про интегралы что-то говорилось про сумму квадратов. Надо будет найти.
Подытоживая, я просто хочу понять, можно ли решить эту задачу, не решая уравнений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение12.04.2015, 00:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11288
Hogtown
О каком Шредингере идет речь? Если о двумерном, то у него действительно спектр чисто точечный бесконечнократный и собственные значения—уровни Ландау (магнитное поле постоянно, электрического нет).

Если о трехмерном, то там будет еще свободное движение вдоль поля и спектр абсолютно непрерывный

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение12.04.2015, 01:03 
Заморожен


24/06/14
358
В уравнении Шредингера в этой задаче переменные разделяются. Для простоты в этой задаче будем говорить о двухмерном уравнении для $\Psi(x,y)$. Нас интересует только оно. Эту часть решения обычно называют "поперечными" состояниями. Аналогично гамильтониан разделяется на "продольный" и "поперечный". Соответственно, осцилляторный вид должен иметь поперечный гамильтониан.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение12.04.2015, 01:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5225
ФТИ им. Иоффе СПб
Kirill_Sal в сообщении #1002803 писал(а):
Если я правильно понимаю, в общем случае это не так (или не правильно понимаю?)

Любой симметричный ($A^+=A$) оператор можно записать в $\operatorname{Sym}$-форме (по-Вашему, $A(a^+,a)=A(a,a^+)$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория гру
Сообщение12.04.2015, 01:45 
Заморожен


24/06/14
358
Это так, но мне кажется, что дело немного сложнее. Для произвольного взаимодействия сложно ввести операторы рождения и уничтожения, имеющие ясный физический смысл. Наиболее логичным образом они возникают в задаче о состояниях гармонического осциллятора или в твердом теле в задача о колебаниях кристаллической решетки (квазичастица - фонон). Также это получается сделать в нашей задаче.
Дело в том, что симметричная сумма (сумма квадратов) линейна по каждому из операторов. Если магнитное поле неоднородно, то ситуация, может усложниться. Я к завтрашнему дню постараюсь более четко сформулировать, что именно так на мой взгляд прекрасно в сумме квадратов.
Кстати, вы подтолкнули меня к интересной мысли. Если частица - электрон, то с учетом спина:

$E_{n,\sigma}=(n+1/2+\sigma)\hbar\omega_{H}$ и существует вырождение:

$E_{n+1,-1}=E_{n,+1}$

Слабая неоднородность магнитного поля (ангармонический осциллятор) убьет это вырождение, а значит и определенную симметрию системы. Должно быть, однородность пространства в двухмерной задаче можно связать с поворотом спина частицы. Если идею с операторами обобщить на задачу для $\Psi(x,y)\chi(\sigma)$, то может получиться что-то интересное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение12.04.2015, 02:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Kirill_Sal в сообщении #1002827 писал(а):
Для произвольного взаимодействия сложно ввести операторы рождения и уничтожения, имеющие ясный физический смысл.

Может быть, можно ввести лестничные операторы? Один повышает уровень энергии, пробегая все по очереди, другой понижает в обратном порядке. И ясный физический смысл тут как тут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение12.04.2015, 03:10 
Заморожен


24/06/14
358
Не совсем понял, что за лестничные операторы? Разве мы не об одном и том же?

На самом деле я задался вопросом, можно ли связать симметрию пространства с тем фактом, что гамильтониан является суммой квадратов. Я никак не верю, что это случайно, и пытаюсб найти этому объяснение.

Операторы рождения и уничтожения - это лишь один из возможных подходов. Почему я решил выбрать именно его?

Рассмотрим ситуацию с классической точки зрения, чтобы затем обобщить на квантовый случай. Если поле однородно, то электрон просто вращается по окружности в плоскости $xy$. Теперь если постепенно увеличивать неоднородность магнитного поля, электрон начнет дрейфовать, - то есть, появится поступательная составляющая движения. Посмотрим, что при этом принципиально изменяется в характере взаимодействия с корпускулярной точки зрения. Для этого рассмотрим систему электрон $+$ подсистема, создающая магнитное поле (назовем ее "провод"). Будем считать, что взаимодействие происходит засчет обмена квазичастицами между электроном и проводом с током. Рассмотрение проведем в системе отсчете неподвижного наблюдателя.

1 случай. Поле однородно. Электрон вращается по окружности в плоскости $xy$. Очевидно, что в этом случае подсистемы могут обмениваться квазичастицами, посылая их по одинаковым траекториям.

2 случай. Поле неоднородно. Появляется поступательная составляющая движения. Процесс обмена квазичастицами принципиально меняется по сравнению со случаем 1, - теперь их уже нельзя отправлять от одной подсистемы к другой по одинаковым траекториям, иначе вылетевшая из провода квазичастица не будут успевать за движущимся электроном.

Согласно принципу соответствия в квантовой механике неоднородность поля должна испортить какое-то замечательное свойство оператора $\hat{H}(\hat{a},\hat{a^+})$, которое справедливо для поля однородного. Я пока не понимаю, что это за свойство.

Если на самом деле никакие свойства не портятся, в чем я сильно сомневаюсь, то находить связь нужно другим образом. Нужно искать внутреннюю симметрию, которая пропадает, как только поле становится неоднородным. Предположение со спином я уже высказал, но это верно только для электрона.

P.S. кстати, из классического рассмотрения, приведенного выше, можно смастерить очень заковыристую олимпиадную задачу по электродинамике СТО.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение12.04.2015, 15:40 
Заморожен


24/06/14
358
Вот что получается для электрона.
Рассматриваем двухмерную задачу с магнитным полем. Допустим нам известно 3 факта:

1) $M\hat{H}=\hat{H}$, где $M$ - преобразование плоскости (поле однородно);

2) Существует вырождение уровней $E(n,\sigma)$:

$E(n,+1/2)=E(n+1,-1/2)$;

3) $E(n)\sim(n+1/2)$;

Из 2) и 3) делаем вывод, что

$E(n,\sigma)\sim(n+1/2+\sigma)$

Факт вырождения означает определенную симметрию, связывающую поворот спина с переходом между энергетическими уровнями. В соответствии с тем, что гамильтониан должен иметь осцилляторный вид, запишем его в виде:

$\hat{H}=(\hbar\omega/2)(\hat{c^+}\hat{c}+\hat{c}\hat{c^+})$

Однако эти операторы будут действовать не как лестничные, а похитрее:

$\hat{c}|n,s>=|n+1,-1/2>$

Все это значит, что существует определенная группа симметрии системы, соответствующая инвариантности гамильтониана относительно перемены местами этих хитрых операторов (назовем ее группой $P$).

Исходя из вида гамильтониана и симметрии пространства в однородном поле делаем вывод, что в этой задаче:

$SO(2)\times{T_{xy}}\cong{P}$, т.е.есть определенная связь между внутренней и внешней симметрией системы. Кстати, задаются такие связи в явном виде?

Почему это не так для неоднородного поля? Однозначно должно изчезать какое-то хорошее свойство гамильтониана, записанного через эти операторы. Понятное дело, что не Эрмитовость. Может быть линейность по каждому из них, но как это доказать я не знаю, поэтому по-прежнему жду, чтобы мне помогли получше разобраться, т.к.я серьезно путаюсь.
И еще вопрос: похоже, что внутренняя симметрия $P$ существует только для электрона? Чем он так особенен, кроме того, что его магнитный момент равен магнетону Бора и знак спина удается занести под одну скобку с $n+1/2$?


-- 12.04.2015, 15:47 --

P.S. Полуклассическое рассмотрение, которое я приводил в предыдущем сообщение, вряд ли правильно. Однако, мне оно кажется интересным и если кто-то захочет подискутировать, как сделать эту интерпретацию правильно, буду очень рад.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение12.04.2015, 16:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5225
ФТИ им. Иоффе СПб
Kirill_Sal в сообщении #1002993 писал(а):
Вот что получается для электрона.

Как выглядит взаимодействие электрона с магнитным полем? Если $g(\mathbf{\sigma B})$, то спектр не такой, как Вы пишете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение12.04.2015, 16:07 
Заморожен


24/06/14
358
Я не совсем понял вопрос, но вообще ЛЛ &112 формула (112,8), в которой мы рассматриваем только поперечную часть, и последний абзац этого же параграфа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение12.04.2015, 16:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5225
ФТИ им. Иоффе СПб
А это
Kirill_Sal в сообщении #1002993 писал(а):
$E(n,\sigma)\sim(n+1/2+\sigma)$

тогда откуда? Должно быть $E(n,\sigma)\sim(n+1/2+\frac{\mu\sigma}{s}H)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп/
Сообщение12.04.2015, 16:58 
Заморожен


24/06/14
358
Общий вид поперечных состояний:

$E_{n}=\hbar\omega_{H}(n+1/2)-H\mu\sigma/s$, где

(1) $\omega=|e|H/mc$;

(2) для электрона $\mu/s=-|e|\hbar/mc$;

Из (1) и (2) получаем:

$E_{n}=\hbar\omega_{H}(n+1/2+\sigma)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение12.04.2015, 17:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5225
ФТИ им. Иоффе СПб
Виноват, лоханулся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение12.04.2015, 17:19 
Заморожен


24/06/14
358
Вообще, изначально я хотел, чтобы мне помогли разобраться, но т.к.постановка задачи да и сама задача не совсем стандартная, может в дискусионных темах это обсуждение будет уместнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уровни Ландау и теория групп
Сообщение12.04.2015, 18:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Kirill_Sal в сообщении #1002834 писал(а):
Не совсем понял, что за лестничные операторы? Разве мы не об одном и том же?

В случае осциллятора - об одном и том же. Но понятие "лестничный оператор" может быть введено для произвольного гамильтониана - и я указал, как. А у вас с операторами рождения и уничтожения, как я понял, с этим были трудности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group