Здравствуйте, уважаемые форумчане.
Меня уже достаточно давно интересует один вопрос, в котором я хотел бы разобраться.
Решение уравнения Шредингера для электрона в однородном магнитном поле известно - это уровни Ландау. Квантование поперечных состояний при этом имеет вид, аналогичный гармоническому осциллятору. Также мы знаем, что это решение верно только для однородного магнитного поля, - случая, в котором гамильтониан инвариантен относительно преобразований плоскости, перпендикулярной направлению магнитного поля. Этот результат мне кажется нетривиальным и я хотел бы разобраться поглубже, можно ли вывести в этой задаче какую-то связь между группой симметрии
и тем фактом, что поперечный гамильтониан системы имеет вид осциллятора?
Давайте посмотрим на задачу с обратной стороны. Предположим, что мы ничего не знаем о магнитном поле, кроме свойства поперечности. Мы не знаем, будет ли оно калиброчно-симметрияным. Не знаем мы также и вид гамильтониана:
Однако мы интуитивно понимаем, что однородность поперечного поля
, наложенного на систему, означает инвариантность гамильтониана относительно преобразований в плоскости
. Затем ставим некий эксперимент, из рез-тов получаем, что поперечные состояния системы квантуются по закону
. Из этого мы можем сделать вывод, что поперечная часть гамильтониана
должна иметь вид суммы квадратов. Математически это означает, что
можно представить в виде:
,
где
,
- формальные операторы уничтожения и рождения неких квазичастиц, передающих взаимодействие
.
Очевидно, что это простейший вид гамильтониана, инвариантного относительно перемены местами операторов рождения и уничтожения, т.е.такого, что
.
Если я правильно понимаю, в общем случае это не так (или не правильно понимаю?)
А сейчас конкретные вопросы: можно ли теперь связать инвариантность относительно группы движения в плоскости
с инвариантностью относительно перемены операторов рождения и уничтожения местами или, проще говоря, тем, что гамильтониан в этой задаче - сумма квадратов? Можно ли (при минимальных дополнительных предположениях) из этой связи вывести калибровочное свойство магнитного поля?
P.S. По правде сказать, я очень (очень) много накалякал, пытаясь ответить на эти вопросы, т.к.уверен, что связь должна быть. Приводить пока не хочется, т.к.ни в теории групп, ни в КТП я не эксперт. Говоря проще, я просто их вообще не изучал. Буду благодарен, если кто-то подтолкнет меня на правильные мысли, посоветует литературы или отговорит от этой идеи.
P.P.S. Если мои исходные предположения верны, то я также придумал одну очень прикольную интерпретацию этой задачи
. Думаю, что копаться в подобных вещах и пытаться на них посмотреть с разных сторон - полезное занятие. В своих лекциях по гравитации Р.Фейнман выводит (на эвристическом уровне) из минимальных предположений основные свойства гравитации на языке КТП. Дух захватывает
. Кстати, в его же книжке про интегралы что-то говорилось про сумму квадратов. Надо будет найти.
Подытоживая, я просто хочу понять, можно ли решить эту задачу, не решая уравнений.