Группа автоморфизмов P^1*P^1.

[3.14]

Здравствуйте, участники форума. У меня возникла вот такая задача : классифицировать конечные подгруппы в группе $(PGL_2(\mathbb{Q}) \times PGL_2(\mathbb{Q}))\rtimes \mathbb{Z}_2$. Группа $\mathbb{Z}_2$ действует на $PGL_2(\mathbb{Q}) \times PGL_2(\mathbb{Q})$ перестановкой компонент. При это мне известны все конечные подгруппы (с точностью до изоморфизма) у группы $PGL_2(\mathbb{Q})$ : $C_2, \ C_3, \ C_4, \ C_6, \ D_2, \ D_3, \ D_4, \ D_6$, где $C_n$ - циклическая группа порядка $n$, а $D_n = \langle x, \ y \ | \ x^n=y^2=(xy)^2 = e \rangle$ - группа диэдра порядка $2n$.
Для начала я хотел разобраться с конечными подгруппами прямого произведения $PGL_2(\mathbb{Q}) \times PGL_2(\mathbb{Q})$. Пусть $G < PGL_2(\mathbb{Q}) \times PGL_2(\mathbb{Q})$ - конечная подгруппа. Рассмотрим отображения : $\pi_i : PGL_2(\mathbb{Q}) \times PGL_2(\mathbb{Q}) \rightarrow PGL_2(\mathbb{Q})$, $i=1,2$ - проекции. Тогда $G_1 = \pi_1(G), \ G_2 = \pi_2(G)$ - конечные подгруппы в проективной группе. Тогда получаем, что $G \leq G_1 \times G_2$, где $G_i$ одна из $C_2, \ C_3, \ C_4, \ C_6, \ D_2, \ D_3, \ D_4, \ D_6$. Получается, что нужно разобрать с подгруппами прямого произведения. Сложность в том, что подгруппы произведения это не просто произведения подгрупп компонент. Есть такое утверждения - лемма Гурса http://en.wikipedia.org/wiki/Goursat's_lemma . С помощью которой, вроде, можно находить подгруппы произведения, зная подгруппы $G_1$ и $G_2$. Я не понимаю как нужно это делать. Я разобрался со случаем, когда $G_1, \ G_2$ - циклические. Меня вот интересует, когда порядок произведения уже немаленький (просто когда маленький я уже в ручную строю произведения и смотрю на ее подгруппы). Например, вот как можно описать все подгруппы $D_4 \times D_6$ ?
И еще, я вот не совсем понимаю. Вот $\mathbb{Z}_2$ действует перестановкой компонент. Отсюда же не следует, что в прямом произведении нам нужно брать только группы вида $C_n \times C_n$ и $D_n \times D_n$ ?

[Sonic86]

3.14 в сообщении #1000691 писал(а):

Сложность в том, что подгруппы произведения это не просто произведения подгрупп компонент.

Так вроде бы любая подгруппа произведения является некоторой подгруппой декартова произведения подгрупп компонент, разве нет?

[3.14]

Sonic86 в сообщении #1000699 писал(а):

3.14 в сообщении #1000691 писал(а):

Сложность в том, что подгруппы произведения это не просто произведения подгрупп компонент.

Так вроде бы любая подгруппа произведения является некоторой подгруппой декартова произведения подгрупп компонент, разве нет?

Это да. Но это, вроде, будут не все подгруппы. Или я что-то путаю. ) Пусть $G \times H$ и $G_i, H_i$ - подгруппы $G$ и $H$ соответственно. Тогда сами $G_i$ и $H_i$ будут подгруппами произведения, потом $G_i \times H_j$ тоже будут. Все ли это будут подгруппы.

[AV_77]

3.14 в сообщении #1000691 писал(а):

Отсюда же не следует, что в прямом произведении нам нужно брать только группы вида $C_n \times C_n$ и $D_n \times D_n$ ?

Нужно рассматривать подгруппы типа $G \times H$, где $G, H$ - конечные подгруппы из $\operatorname{PSL}$ и $(G \times G) \rtimes \mathbb{Z}_2$.

3.14 в сообщении #1000734 писал(а):

Пусть $G \times H$ и $G_i, H_i$ - подгруппы $G$ и $H$ соответственно. Тогда сами $G_i$ и $H_i$ будут подгруппами произведения, потом $G_i \times H_j$ тоже будут. Все ли это будут подгруппы.

Нет, подгруппа прямого произведения не обязательно раскладывается в прямое произведение подгрупп сомножителей.

[3.14]

AV_77 в сообщении #1000955 писал(а):

3.14 в сообщении #1000691 писал(а):

Отсюда же не следует, что в прямом произведении нам нужно брать только группы вида $C_n \times C_n$ и $D_n \times D_n$ ?

Нужно рассматривать подгруппы типа $G \times H$, где $G, H$ - конечные подгруппы из $\operatorname{PSL}$ и $(G \times G) \rtimes \mathbb{Z}_2$.

Почему $G, \ H$ из $PSL$ ? И все-таки, как описывать подгруппы $G \times H$ через подгруппы $G$ и $H$ ? Когда $G$ и $H$ циклические вроде еще можно посчитать. Даже когда не циклические, но небольших порядков тоже еще можно взять в ручную организовать прямое произведение и по таблице умножения подгруппы выписать. Но например $D_4 \times D_6$ уже порядка 72 и искать вручную подгруппы проблематично.
Далее, вот я не совсем понимаю вот как полупрямое произведение нормально представить, чтоб можно было подгруппы искать. Например, возьмем в качестве $G$ группу $C_6$, тогда нужно рассмотреть подгруппы такой штуки $(C_6 \times C_6) \rtimes \mathbb{Z}_2$. Вот все подгруппы $C_6 \times C_6$ вроде такие : $C_2, \ C_3, \ C_6, \ C_2 \times C_2, \ C_3 \times C_3, \ C_2 \times C_6, \ C_3 \times C_6, \ C_6 \times C_6$. Пусть подгруппа $H \subset C_6 \times C_6$ - циклическая, тогда нужно понять как представить такое вот произведение $C_n \rtimes \mathbb{Z}_2$ ну или более общо $C_n \rtimes C_m$. Вроде получается так : $C_n \rtimes C_m = \langle x,\ y \ : x^n = y^m = e, \ yxy^{-1} = x^k \rangle$, где $k^m = 1(mod \ n)$. А вот теперь вот такую группу $(C_n \times C_m) \rtimes \mathbb{Z}_2$. Ясно, что будут какие-то три элемента образующих $x, \ y, \ z$ : $x^n = y^m = z^2 = e$, далее, условие $xy = yz$. И вот теперь как составить условие взаимодействия $z$ с $x$ и $y$ ? )

[AV_77]

3.14 в сообщении #1001213 писал(а):

Почему $G, \ H$ из $PSL$ ?

У вас там $\operatorname{PGL}$? Тогда из нее.

3.14 в сообщении #1001213 писал(а):

И вот теперь как составить условие взаимодействия $z$ с $x$ и $y$ ?

А зачем вам это взаимодействие представлять, если оно вам задано

3.14 в сообщении #1000691 писал(а):

Группа $\mathbb{Z}_2$ действует на $PGL_2(\mathbb{Q}) \times PGL_2(\mathbb{Q})$ перестановкой компонент.

У вас, значит, будет $(C_n \times C_n) \rtimes \mathbb{Z}_2$. Она имеет три образующих $x, y, z$ такие, что $x^n = y^n = z^2 = 1$ и $z^{-1}xz = y$.

[3.14]

То есть $(C_n \times C_n) \rtimes \mathbb{Z}_2 = \langle x, \ y, \ z \ | \ x^n = y^n = z^2 = e, \ xy=yx, \ z^{-1}xz = y \rangle$
А если теперь посмотреть на $(D_n \times D_n) \rtimes \mathbb{Z}_2$. Если я не ошибаюсь, то

$$ D_n \times D_n = \langle x_1, \ y_1, \ x_2, \ y_2 \ | \ x_1^n = y_1^2 = (x_1 y_1)^2 = e, \ x_2^n = y_2^2 = (x_2 y_2)^2 = e, \ x_1 x_2 = x_2 x_1, \ y_1 y_2 = y_2 y_1 \rangle. $$

Значит (если можно сказать по аналогии) условия на $z$ такие : $z^{-1}x_1 z = x_2$ и $z^{-1}y_1 z = y_2$ ?