2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Группа автоморфизмов P^1*P^1.
Сообщение05.04.2015, 22:52 
Здравствуйте, участники форума. У меня возникла вот такая задача : классифицировать конечные подгруппы в группе $(PGL_2(\mathbb{Q}) \times PGL_2(\mathbb{Q}))\rtimes \mathbb{Z}_2$. Группа $\mathbb{Z}_2$ действует на $PGL_2(\mathbb{Q}) \times PGL_2(\mathbb{Q})$ перестановкой компонент. При это мне известны все конечные подгруппы (с точностью до изоморфизма) у группы $PGL_2(\mathbb{Q})$ : $C_2, \ C_3, \ C_4, \ C_6, \ D_2, \ D_3, \ D_4, \ D_6$, где $C_n$ - циклическая группа порядка $n$, а $D_n = \langle x, \ y \ | \ x^n=y^2=(xy)^2 = e \rangle$ - группа диэдра порядка $2n$.
Для начала я хотел разобраться с конечными подгруппами прямого произведения $PGL_2(\mathbb{Q}) \times PGL_2(\mathbb{Q})$. Пусть $G < PGL_2(\mathbb{Q}) \times PGL_2(\mathbb{Q})$ - конечная подгруппа. Рассмотрим отображения : $\pi_i : PGL_2(\mathbb{Q}) \times PGL_2(\mathbb{Q}) \rightarrow PGL_2(\mathbb{Q})$, $i=1,2$ - проекции. Тогда $G_1 = \pi_1(G), \ G_2 = \pi_2(G)$ - конечные подгруппы в проективной группе. Тогда получаем, что $G \leq G_1 \times G_2$, где $G_i$ одна из $C_2, \ C_3, \ C_4, \ C_6, \ D_2, \ D_3, \ D_4, \ D_6$. Получается, что нужно разобрать с подгруппами прямого произведения. Сложность в том, что подгруппы произведения это не просто произведения подгрупп компонент. Есть такое утверждения - лемма Гурса http://en.wikipedia.org/wiki/Goursat's_lemma . С помощью которой, вроде, можно находить подгруппы произведения, зная подгруппы $G_1$ и $G_2$. Я не понимаю как нужно это делать. Я разобрался со случаем, когда $G_1, \ G_2$ - циклические. Меня вот интересует, когда порядок произведения уже немаленький (просто когда маленький я уже в ручную строю произведения и смотрю на ее подгруппы). Например, вот как можно описать все подгруппы $D_4 \times D_6$ ?
И еще, я вот не совсем понимаю. Вот $\mathbb{Z}_2$ действует перестановкой компонент. Отсюда же не следует, что в прямом произведении нам нужно брать только группы вида $C_n \times C_n$ и $D_n \times D_n$ ?

 
 
 
 Re: Группа автоморфизмов P^1*P^1.
Сообщение05.04.2015, 23:15 
3.14 в сообщении #1000691 писал(а):
Сложность в том, что подгруппы произведения это не просто произведения подгрупп компонент.
Так вроде бы любая подгруппа произведения является некоторой подгруппой декартова произведения подгрупп компонент, разве нет? :roll:

 
 
 
 Re: Группа автоморфизмов P^1*P^1.
Сообщение06.04.2015, 00:52 
Sonic86 в сообщении #1000699 писал(а):
3.14 в сообщении #1000691 писал(а):
Сложность в том, что подгруппы произведения это не просто произведения подгрупп компонент.
Так вроде бы любая подгруппа произведения является некоторой подгруппой декартова произведения подгрупп компонент, разве нет? :roll:

Это да. Но это, вроде, будут не все подгруппы. Или я что-то путаю. ) Пусть $G \times H$ и $G_i, H_i$ - подгруппы $G$ и $H$ соответственно. Тогда сами $G_i$ и $H_i$ будут подгруппами произведения, потом $G_i \times H_j$ тоже будут. Все ли это будут подгруппы. :oops:

 
 
 
 Re: Группа автоморфизмов P^1*P^1.
Сообщение06.04.2015, 20:46 
3.14 в сообщении #1000691 писал(а):
Отсюда же не следует, что в прямом произведении нам нужно брать только группы вида $C_n \times C_n$ и $D_n \times D_n$ ?

Нужно рассматривать подгруппы типа $G \times H$, где $G, H$ - конечные подгруппы из $\operatorname{PSL}$ и $(G \times G) \rtimes \mathbb{Z}_2$.

3.14 в сообщении #1000734 писал(а):
Пусть $G \times H$ и $G_i, H_i$ - подгруппы $G$ и $H$ соответственно. Тогда сами $G_i$ и $H_i$ будут подгруппами произведения, потом $G_i \times H_j$ тоже будут. Все ли это будут подгруппы.

Нет, подгруппа прямого произведения не обязательно раскладывается в прямое произведение подгрупп сомножителей.

 
 
 
 Re: Группа автоморфизмов P^1*P^1.
Сообщение07.04.2015, 16:23 
AV_77 в сообщении #1000955 писал(а):
3.14 в сообщении #1000691 писал(а):
Отсюда же не следует, что в прямом произведении нам нужно брать только группы вида $C_n \times C_n$ и $D_n \times D_n$ ?

Нужно рассматривать подгруппы типа $G \times H$, где $G, H$ - конечные подгруппы из $\operatorname{PSL}$ и $(G \times G) \rtimes \mathbb{Z}_2$.

Почему $G, \ H$ из $PSL$ ? :oops: И все-таки, как описывать подгруппы $G \times H$ через подгруппы $G$ и $H$ ? :oops: Когда $G$ и $H$ циклические вроде еще можно посчитать. Даже когда не циклические, но небольших порядков тоже еще можно взять в ручную организовать прямое произведение и по таблице умножения подгруппы выписать. Но например $D_4 \times D_6$ уже порядка 72 и искать вручную подгруппы проблематично.
Далее, вот я не совсем понимаю вот как полупрямое произведение нормально представить, чтоб можно было подгруппы искать. Например, возьмем в качестве $G$ группу $C_6$, тогда нужно рассмотреть подгруппы такой штуки $(C_6 \times C_6) \rtimes \mathbb{Z}_2$. Вот все подгруппы $C_6 \times C_6$ вроде такие : $C_2, \ C_3, \ C_6, \ C_2 \times C_2, \ C_3 \times C_3, \ C_2 \times C_6, \ C_3 \times C_6, \ C_6 \times C_6$. Пусть подгруппа $H \subset C_6 \times C_6$ - циклическая, тогда нужно понять как представить такое вот произведение $C_n \rtimes \mathbb{Z}_2$ ну или более общо $C_n \rtimes C_m$. Вроде получается так : $C_n \rtimes C_m = \langle x,\ y \ : x^n = y^m = e, \ yxy^{-1} = x^k \rangle$, где $k^m = 1(mod \  n)$. А вот теперь вот такую группу $(C_n \times C_m) \rtimes \mathbb{Z}_2$. Ясно, что будут какие-то три элемента образующих $x, \ y, \ z$ : $x^n = y^m = z^2 = e$, далее, условие $xy = yz$. И вот теперь как составить условие взаимодействия $z$ с $x$ и $y$ ? )

 
 
 
 Re: Группа автоморфизмов P^1*P^1.
Сообщение07.04.2015, 23:42 
3.14 в сообщении #1001213 писал(а):
Почему $G, \ H$ из $PSL$ ?

У вас там $\operatorname{PGL}$? Тогда из нее.

3.14 в сообщении #1001213 писал(а):
И вот теперь как составить условие взаимодействия $z$ с $x$ и $y$ ?

А зачем вам это взаимодействие представлять, если оно вам задано
3.14 в сообщении #1000691 писал(а):
Группа $\mathbb{Z}_2$ действует на $PGL_2(\mathbb{Q}) \times PGL_2(\mathbb{Q})$ перестановкой компонент.

У вас, значит, будет $(C_n \times C_n) \rtimes \mathbb{Z}_2$. Она имеет три образующих $x, y, z$ такие, что $x^n = y^n = z^2 = 1$ и $z^{-1}xz = y$.

 
 
 
 Re: Группа автоморфизмов P^1*P^1.
Сообщение08.04.2015, 22:01 
То есть $(C_n \times C_n) \rtimes \mathbb{Z}_2 = \langle x, \ y, \ z \ | \ x^n = y^n = z^2 = e, \ xy=yx, \ z^{-1}xz = y \rangle$ :D
А если теперь посмотреть на $(D_n \times D_n) \rtimes \mathbb{Z}_2$. Если я не ошибаюсь, то
$$
D_n \times D_n = \langle x_1, \ y_1, \ x_2, \ y_2 \ | \ x_1^n = y_1^2 = (x_1 y_1)^2 = e, \ x_2^n = y_2^2 = (x_2 y_2)^2 = e, \ x_1 x_2 = x_2 x_1, \ y_1 y_2 = y_2 y_1 \rangle.
$$
Значит (если можно сказать по аналогии) условия на $z$ такие : $z^{-1}x_1 z = x_2$ и $z^{-1}y_1 z = y_2$ ? :oops:

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group