2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение04.04.2015, 09:04 
Аватара пользователя


14/09/12
181
Уфа
Здравствуйте. Дана задача 24.4 из Бахвалова.
24.4 (Бахвалов) писал(а):
Для задачи

$u'+a(x)u=f(x), u(0)=c$

рассматривается схема

$\frac{y_{k+1}-y_{k}}{h}+(\alpha_{1}a(x_{k})+\alpha_{2}a(x_{k+1}))(\beta_{1}y_{k}+\beta_{2}y_{k+1}) = \gamma_{1} f(x_{k})+\gamma_{2}f(x_{k+1})$,

$y_{0} = c$

Как выбрать $\alpha_{k}$, $\beta_{k}$ и $\gamma_{k}$, чтобы получить второй порядок аппроксимации?

Как мне подступиться? Я попробовал разложить $y_{k+1}$ в ряд Тейлора, и подставил полученное выражение в исходную схему, $y_{k}$ в $\frac{y_{k+1}-y_{k}}{h}$ сократились, но что делать с остальным я не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение04.04.2015, 11:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
8037
netang в сообщении #999866 писал(а):
сократились, но что делать с остальным я не знаю
Тоже сокращать. Выбором тех самых $\alpha, \beta, \gamma$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение04.04.2015, 12:39 
Аватара пользователя


14/09/12
181
Уфа
$y_{k+1} = y_{k} + \left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k}h+\left.\frac{1}{2}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\right|_{k}h^2...

Я выбрал $\alpha_{1} = \alpha_{2} = \frac{1}{2h}$, $\gamma_{1} = \gamma_{2} = \frac{1}{2}$, $\beta_{1} = \beta_{2} = \frac{h}{2}$, но мне кажется, что так не пойдет :?

$\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k} + O(h) + (\frac{1}{2h}a(x_{k})+\frac{1}{2h}a(x_{k+1}))(\frac{h}{2}y_{k}+ ( \frac{h}{2}y_{k} + \left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k}\frac{h^2}{2}+\left.\frac{1}{2}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\right|_{k}\frac{h^3}{2}... ) ) = \frac{1}{2} f(x_{k})+\frac{1}{2}f(x_{k+1}) = \left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k} + O(h) + (\frac{a(x_{k})+ a(x_{k+1})}{2h})(y_{k}h+ O(h^2) ) = \frac{f(x_{k})+ f(x_{k+1})}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение04.04.2015, 15:15 
Аватара пользователя


05/12/09
382
В задаче слово "выбрать" означает не "подобрать подходящие методом тыка", а "вывести из уравнений".

 Профиль  
                  
 
 Re: Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение04.04.2015, 20:01 
Аватара пользователя


14/09/12
181
Уфа
alisa-lebovski в сообщении #999962 писал(а):
подходящие
Неужто я попал? Из вашего сообщения это не понятно, я бы хоть порадовался :-)
alisa-lebovski в сообщении #999962 писал(а):
вывести из уравнений
Это мне ясно, но пока ничего не выходит, точнее, я не знаю как это сделать, мне бы не помешала небольшая подсказка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение04.04.2015, 20:48 
Аватара пользователя


05/12/09
382
Надо разложить в ряд Тейлора не только $y$, но также $a$ и $f$, и найти коэффициенты, при которых схема обращается в тождество с точностью до $O(h^2)$, т.е. свободные члены и множители при $h$ должны быть тождественно равны (с учетом дифференциального уравнения).

 Профиль  
                  
 
 Re: Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение04.04.2015, 21:14 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
netang в сообщении #999866 писал(а):
Как выбрать $\alpha_{k}$, $\beta_{k}$ и $\gamma_{k}$, чтобы получить второй порядок аппроксимации?

Вообще-то тупо по $0.5$ каждую. Почему тупо -- потому, что это, с одной стороны, очевидно, а с другой -- нелепо сочинять новую схему для каждого конкретного уравнения. Да к тому же и предложенная схема сама по себе достаточно нелепа (хотя и работоспостобна).

 Профиль  
                  
 
 Re: Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение04.04.2015, 22:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
8037
ewert в сообщении #1000119 писал(а):
предложенная схема сама по себе достаточно нелепа (хотя и работоспостобна)
Второе на самом деле первое.

netang
Ну вот как, например, могут быть связаны $\alpha_1$ и $\alpha_2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение07.04.2015, 19:44 
Аватара пользователя


14/09/12
181
Уфа
Получил следующее:
$\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k} + O(h)+(\alpha_{1}a(x_{k})+\alpha_{2}a(x_{k})+O(h))(\beta_{1}y_{k}+\beta_{2}y_{k}+O(h))=\gamma_{1}f(k)+\gamma_{2}f(k)+O(h). (1)$
Утундрий в сообщении #1000185 писал(а):
netang
Ну вот как, например, могут быть связаны $\alpha_1$ и $\alpha_2$?
Я думаю, исходя из $(1)$ тут нужно решить такое уравнение
$\alpha_{1}a(x_{k})+\alpha_{2}a(x_{k}) = a(x_{k})$ из чего получаем $\alpha_1 = \alpha_2 = 0.5$, с остальными параметрами также. Хотя, возможно, $\alpha_1 = 0.7, \alpha_2 = 0.3$ тоже подойдет, но в ответе все параметры равны $0.5$

 Профиль  
                  
 
 Re: Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение07.04.2015, 21:30 
Аватара пользователя


05/12/09
382
Вы пока получили только первый порядок аппроксимации, а спрашивался второй.

 Профиль  
                  
 
 Re: Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение08.04.2015, 05:30 
Аватара пользователя


14/09/12
181
Уфа
Второй получается, если раскрыть скобки, разве нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение09.04.2015, 14:02 
Аватара пользователя


05/12/09
382
Нет, конечно, у вас с обеих сторон остается погрешность $O(h)$, а надо $O(h^2)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение12.04.2015, 07:44 
Аватара пользователя


14/09/12
181
Уфа
Почему?
Имеем
netang в сообщении #1001315 писал(а):
$\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k} + O(h)+(\alpha_{1}a(x_{k})+\alpha_{2}a(x_{k})+O(h))(\beta_{1}y_{k}+\beta_{2}y_{k}+O(h))=\gamma_{1}f(k)+\gamma_{2}f(k)+O(h). (1)$

Берем параметры равными $0.5$, получаем $\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k} + O(h)+(a(x_{k})+O(h))(y_{k}+O(h))=f(k)+O(h)$
$\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k} + O(h)+a(x_{k})y_{k}+a(x_{k})O(h)+y_{k}O(h)+O(h^2)=f(k)+O(h)$
Что я делаю неправильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение12.04.2015, 10:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
8037
Этот кактус едят не так. Берите какую-нибудь точку, например $x_k$, и выражайте все функции, которые не от $x_k$, через функции от $x_k$. Только сразу до второго порядка и не трогая неопределённых коэффициентов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение12.04.2015, 11:05 
Аватара пользователя


05/12/09
382
netang в сообщении #1002849 писал(а):
Почему?
Имеем
netang в сообщении #1001315 писал(а):
$\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k} + O(h)+(\alpha_{1}a(x_{k})+\alpha_{2}a(x_{k})+O(h))(\beta_{1}y_{k}+\beta_{2}y_{k}+O(h))=\gamma_{1}f(k)+\gamma_{2}f(k)+O(h). (1)$

Берем параметры равными $0.5$, получаем $\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k} + O(h)+(a(x_{k})+O(h))(y_{k}+O(h))=f(k)+O(h)$
$\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k} + O(h)+a(x_{k})y_{k}+a(x_{k})O(h)+y_{k}O(h)+O(h^2)=f(k)+O(h)$
Что я делаю неправильно?


У вас с обоих сторон остается $O(h)$, а должно оставаться только $O(h^2)$.
Сведите уравнение к виду: $A+Bh+O(h^2)=0$, где $A$ и $B$- некоторые выражения, тогда надо решить $A=0$, $B=0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group