2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение04.04.2015, 09:04 
Аватара пользователя
Здравствуйте. Дана задача 24.4 из Бахвалова.
24.4 (Бахвалов) писал(а):
Для задачи

$u'+a(x)u=f(x), u(0)=c$

рассматривается схема

$\frac{y_{k+1}-y_{k}}{h}+(\alpha_{1}a(x_{k})+\alpha_{2}a(x_{k+1}))(\beta_{1}y_{k}+\beta_{2}y_{k+1}) = \gamma_{1} f(x_{k})+\gamma_{2}f(x_{k+1})$,

$y_{0} = c$

Как выбрать $\alpha_{k}$, $\beta_{k}$ и $\gamma_{k}$, чтобы получить второй порядок аппроксимации?

Как мне подступиться? Я попробовал разложить $y_{k+1}$ в ряд Тейлора, и подставил полученное выражение в исходную схему, $y_{k}$ в $\frac{y_{k+1}-y_{k}}{h}$ сократились, но что делать с остальным я не знаю.

 
 
 
 Re: Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение04.04.2015, 11:29 
Аватара пользователя
netang в сообщении #999866 писал(а):
сократились, но что делать с остальным я не знаю
Тоже сокращать. Выбором тех самых $\alpha, \beta, \gamma$.

 
 
 
 Re: Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение04.04.2015, 12:39 
Аватара пользователя
$y_{k+1} = y_{k} + \left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k}h+\left.\frac{1}{2}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\right|_{k}h^2...

Я выбрал $\alpha_{1} = \alpha_{2} = \frac{1}{2h}$, $\gamma_{1} = \gamma_{2} = \frac{1}{2}$, $\beta_{1} = \beta_{2} = \frac{h}{2}$, но мне кажется, что так не пойдет :?

$\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k} + O(h) + (\frac{1}{2h}a(x_{k})+\frac{1}{2h}a(x_{k+1}))(\frac{h}{2}y_{k}+ ( \frac{h}{2}y_{k} + \left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k}\frac{h^2}{2}+\left.\frac{1}{2}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\right|_{k}\frac{h^3}{2}... ) ) = \frac{1}{2} f(x_{k})+\frac{1}{2}f(x_{k+1}) = \left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k} + O(h) + (\frac{a(x_{k})+ a(x_{k+1})}{2h})(y_{k}h+ O(h^2) ) = \frac{f(x_{k})+ f(x_{k+1})}{2}$

 
 
 
 Re: Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение04.04.2015, 15:15 
Аватара пользователя
В задаче слово "выбрать" означает не "подобрать подходящие методом тыка", а "вывести из уравнений".

 
 
 
 Re: Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение04.04.2015, 20:01 
Аватара пользователя
alisa-lebovski в сообщении #999962 писал(а):
подходящие
Неужто я попал? Из вашего сообщения это не понятно, я бы хоть порадовался :-)
alisa-lebovski в сообщении #999962 писал(а):
вывести из уравнений
Это мне ясно, но пока ничего не выходит, точнее, я не знаю как это сделать, мне бы не помешала небольшая подсказка.

 
 
 
 Re: Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение04.04.2015, 20:48 
Аватара пользователя
Надо разложить в ряд Тейлора не только $y$, но также $a$ и $f$, и найти коэффициенты, при которых схема обращается в тождество с точностью до $O(h^2)$, т.е. свободные члены и множители при $h$ должны быть тождественно равны (с учетом дифференциального уравнения).

 
 
 
 Re: Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение04.04.2015, 21:14 
netang в сообщении #999866 писал(а):
Как выбрать $\alpha_{k}$, $\beta_{k}$ и $\gamma_{k}$, чтобы получить второй порядок аппроксимации?

Вообще-то тупо по $0.5$ каждую. Почему тупо -- потому, что это, с одной стороны, очевидно, а с другой -- нелепо сочинять новую схему для каждого конкретного уравнения. Да к тому же и предложенная схема сама по себе достаточно нелепа (хотя и работоспостобна).

 
 
 
 Re: Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение04.04.2015, 22:42 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #1000119 писал(а):
предложенная схема сама по себе достаточно нелепа (хотя и работоспостобна)
Второе на самом деле первое.

netang
Ну вот как, например, могут быть связаны $\alpha_1$ и $\alpha_2$?

 
 
 
 Re: Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение07.04.2015, 19:44 
Аватара пользователя
Получил следующее:
$\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k} + O(h)+(\alpha_{1}a(x_{k})+\alpha_{2}a(x_{k})+O(h))(\beta_{1}y_{k}+\beta_{2}y_{k}+O(h))=\gamma_{1}f(k)+\gamma_{2}f(k)+O(h). (1)$
Утундрий в сообщении #1000185 писал(а):
netang
Ну вот как, например, могут быть связаны $\alpha_1$ и $\alpha_2$?
Я думаю, исходя из $(1)$ тут нужно решить такое уравнение
$\alpha_{1}a(x_{k})+\alpha_{2}a(x_{k}) = a(x_{k})$ из чего получаем $\alpha_1 = \alpha_2 = 0.5$, с остальными параметрами также. Хотя, возможно, $\alpha_1 = 0.7, \alpha_2 = 0.3$ тоже подойдет, но в ответе все параметры равны $0.5$

 
 
 
 Re: Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение07.04.2015, 21:30 
Аватара пользователя
Вы пока получили только первый порядок аппроксимации, а спрашивался второй.

 
 
 
 Re: Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение08.04.2015, 05:30 
Аватара пользователя
Второй получается, если раскрыть скобки, разве нет?

 
 
 
 Re: Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение09.04.2015, 14:02 
Аватара пользователя
Нет, конечно, у вас с обеих сторон остается погрешность $O(h)$, а надо $O(h^2)$.

 
 
 
 Re: Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение12.04.2015, 07:44 
Аватара пользователя
Почему?
Имеем
netang в сообщении #1001315 писал(а):
$\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k} + O(h)+(\alpha_{1}a(x_{k})+\alpha_{2}a(x_{k})+O(h))(\beta_{1}y_{k}+\beta_{2}y_{k}+O(h))=\gamma_{1}f(k)+\gamma_{2}f(k)+O(h). (1)$

Берем параметры равными $0.5$, получаем $\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k} + O(h)+(a(x_{k})+O(h))(y_{k}+O(h))=f(k)+O(h)$
$\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k} + O(h)+a(x_{k})y_{k}+a(x_{k})O(h)+y_{k}O(h)+O(h^2)=f(k)+O(h)$
Что я делаю неправильно?

 
 
 
 Re: Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение12.04.2015, 10:29 
Аватара пользователя
Этот кактус едят не так. Берите какую-нибудь точку, например $x_k$, и выражайте все функции, которые не от $x_k$, через функции от $x_k$. Только сразу до второго порядка и не трогая неопределённых коэффициентов.

 
 
 
 Re: Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)
Сообщение12.04.2015, 11:05 
Аватара пользователя
netang в сообщении #1002849 писал(а):
Почему?
Имеем
netang в сообщении #1001315 писал(а):
$\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k} + O(h)+(\alpha_{1}a(x_{k})+\alpha_{2}a(x_{k})+O(h))(\beta_{1}y_{k}+\beta_{2}y_{k}+O(h))=\gamma_{1}f(k)+\gamma_{2}f(k)+O(h). (1)$

Берем параметры равными $0.5$, получаем $\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k} + O(h)+(a(x_{k})+O(h))(y_{k}+O(h))=f(k)+O(h)$
$\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k} + O(h)+a(x_{k})y_{k}+a(x_{k})O(h)+y_{k}O(h)+O(h^2)=f(k)+O(h)$
Что я делаю неправильно?


У вас с обоих сторон остается $O(h)$, а должно оставаться только $O(h^2)$.
Сведите уравнение к виду: $A+Bh+O(h^2)=0$, где $A$ и $B$- некоторые выражения, тогда надо решить $A=0$, $B=0$.

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group