Получить второй порядок аппроксимации (разностная схема)

[netang]

Здравствуйте. Дана задача 24.4 из Бахвалова.

24.4 (Бахвалов) писал(а):

Для задачи

$u'+a(x)u=f(x), u(0)=c$

рассматривается схема

$\frac{y_{k+1}-y_{k}}{h}+(\alpha_{1}a(x_{k})+\alpha_{2}a(x_{k+1}))(\beta_{1}y_{k}+\beta_{2}y_{k+1}) = \gamma_{1} f(x_{k})+\gamma_{2}f(x_{k+1})$,

$y_{0} = c$

Как выбрать $\alpha_{k}$, $\beta_{k}$ и $\gamma_{k}$, чтобы получить второй порядок аппроксимации?

Как мне подступиться? Я попробовал разложить $y_{k+1}$ в ряд Тейлора, и подставил полученное выражение в исходную схему, $y_{k}$ в $\frac{y_{k+1}-y_{k}}{h}$ сократились, но что делать с остальным я не знаю.

[Утундрий]

netang в сообщении #999866 писал(а):

сократились, но что делать с остальным я не знаю

Тоже сокращать. Выбором тех самых $\alpha, \beta, \gamma$.

[netang]

$y_{k+1} = y_{k} + \left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k}h+\left.\frac{1}{2}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\right|_{k}h^2...

Я выбрал $\alpha_{1} = \alpha_{2} = \frac{1}{2h}$, $\gamma_{1} = \gamma_{2} = \frac{1}{2}$, $\beta_{1} = \beta_{2} = \frac{h}{2}$, но мне кажется, что так не пойдет

$\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k} + O(h) + (\frac{1}{2h}a(x_{k})+\frac{1}{2h}a(x_{k+1}))(\frac{h}{2}y_{k}+ ( \frac{h}{2}y_{k} + \left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k}\frac{h^2}{2}+\left.\frac{1}{2}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\right|_{k}\frac{h^3}{2}... ) ) = \frac{1}{2} f(x_{k})+\frac{1}{2}f(x_{k+1}) = \left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k} + O(h) + (\frac{a(x_{k})+ a(x_{k+1})}{2h})(y_{k}h+ O(h^2) ) = \frac{f(x_{k})+ f(x_{k+1})}{2}$

[alisa-lebovski]

В задаче слово "выбрать" означает не "подобрать подходящие методом тыка", а "вывести из уравнений".

[netang]

alisa-lebovski в сообщении #999962 писал(а):

подходящие

Неужто я попал? Из вашего сообщения это не понятно, я бы хоть порадовался

alisa-lebovski в сообщении #999962 писал(а):

вывести из уравнений

Это мне ясно, но пока ничего не выходит, точнее, я не знаю как это сделать, мне бы не помешала небольшая подсказка.

[alisa-lebovski]

Надо разложить в ряд Тейлора не только $y$, но также $a$ и $f$, и найти коэффициенты, при которых схема обращается в тождество с точностью до $O(h^2)$, т.е. свободные члены и множители при $h$ должны быть тождественно равны (с учетом дифференциального уравнения).

[ewert]

netang в сообщении #999866 писал(а):

Как выбрать $\alpha_{k}$, $\beta_{k}$ и $\gamma_{k}$, чтобы получить второй порядок аппроксимации?

Вообще-то тупо по $0.5$ каждую. Почему тупо -- потому, что это, с одной стороны, очевидно, а с другой -- нелепо сочинять новую схему для каждого конкретного уравнения. Да к тому же и предложенная схема сама по себе достаточно нелепа (хотя и работоспостобна).

[Утундрий]

ewert в сообщении #1000119 писал(а):

предложенная схема сама по себе достаточно нелепа (хотя и работоспостобна)

Второе на самом деле первое.

netang
Ну вот как, например, могут быть связаны $\alpha_1$ и $\alpha_2$?

[netang]

Получил следующее:
$\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k} + O(h)+(\alpha_{1}a(x_{k})+\alpha_{2}a(x_{k})+O(h))(\beta_{1}y_{k}+\beta_{2}y_{k}+O(h))=\gamma_{1}f(k)+\gamma_{2}f(k)+O(h). (1)$

Утундрий в сообщении #1000185 писал(а):

netang
Ну вот как, например, могут быть связаны $\alpha_1$ и $\alpha_2$?

Я думаю, исходя из $(1)$ тут нужно решить такое уравнение
$\alpha_{1}a(x_{k})+\alpha_{2}a(x_{k}) = a(x_{k})$ из чего получаем $\alpha_1 = \alpha_2 = 0.5$, с остальными параметрами также. Хотя, возможно, $\alpha_1 = 0.7, \alpha_2 = 0.3$ тоже подойдет, но в ответе все параметры равны $0.5$

[alisa-lebovski]

Вы пока получили только первый порядок аппроксимации, а спрашивался второй.

[netang]

Второй получается, если раскрыть скобки, разве нет?

[alisa-lebovski]

Нет, конечно, у вас с обеих сторон остается погрешность $O(h)$, а надо $O(h^2)$.

[netang]

Почему?
Имеем

netang в сообщении #1001315 писал(а):

$\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k} + O(h)+(\alpha_{1}a(x_{k})+\alpha_{2}a(x_{k})+O(h))(\beta_{1}y_{k}+\beta_{2}y_{k}+O(h))=\gamma_{1}f(k)+\gamma_{2}f(k)+O(h). (1)$

Берем параметры равными $0.5$, получаем $\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k} + O(h)+(a(x_{k})+O(h))(y_{k}+O(h))=f(k)+O(h)$
$\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k} + O(h)+a(x_{k})y_{k}+a(x_{k})O(h)+y_{k}O(h)+O(h^2)=f(k)+O(h)$
Что я делаю неправильно?

[Утундрий]

Этот кактус едят не так. Берите какую-нибудь точку, например $x_k$, и выражайте все функции, которые не от $x_k$, через функции от $x_k$. Только сразу до второго порядка и не трогая неопределённых коэффициентов.

[alisa-lebovski]

netang в сообщении #1002849 писал(а):

Почему?
Имеем

netang в сообщении #1001315 писал(а):

$\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k} + O(h)+(\alpha_{1}a(x_{k})+\alpha_{2}a(x_{k})+O(h))(\beta_{1}y_{k}+\beta_{2}y_{k}+O(h))=\gamma_{1}f(k)+\gamma_{2}f(k)+O(h). (1)$

Берем параметры равными $0.5$, получаем $\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k} + O(h)+(a(x_{k})+O(h))(y_{k}+O(h))=f(k)+O(h)$
$\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{k} + O(h)+a(x_{k})y_{k}+a(x_{k})O(h)+y_{k}O(h)+O(h^2)=f(k)+O(h)$
Что я делаю неправильно?

У вас с обоих сторон остается $O(h)$, а должно оставаться только $O(h^2)$.
Сведите уравнение к виду: $A+Bh+O(h^2)=0$, где $A$ и $B$- некоторые выражения, тогда надо решить $A=0$, $B=0$.