Приведенной потенциальной энергией назовем ту часть полной энергии
![$$E=\frac{1}{2}\left[m(a^2 \sin^2\psi+ b^2\cos^2\psi)\dot \psi^2 +\frac{M^2}{(J+mb^2\sin^2\psi)}+ 2mga(1+\cos\psi)\right],$$ $$E=\frac{1}{2}\left[m(a^2 \sin^2\psi+ b^2\cos^2\psi)\dot \psi^2 +\frac{M^2}{(J+mb^2\sin^2\psi)}+ 2mga(1+\cos\psi)\right],$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/e/22ef97ce6c35c48121f61de29347352b82.png)
которая не содержит скоростей, т.е.
![$$U(\psi)=\frac{1}{2}\frac{M^2}{(J+mb^2\sin^2\psi)}+ mga(1+\cos\psi).$$ $$U(\psi)=\frac{1}{2}\frac{M^2}{(J+mb^2\sin^2\psi)}+ mga(1+\cos\psi).$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/b/f1b5205e7af2ef702738293e98949b4982.png)
Точками равновесия должны быть точки экстремумов ф-ии
![$U(\psi)$ $U(\psi)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/4/b94ebc6072b5afd1f1fafa1807ba30cf82.png)
, т.е. такие, что
![$$\frac{dU}{d\psi}=-\left(\frac{M^2b^2\cos\psi}{(J+mb^2\sin^2\psi)^2}+ga\right)m\sin\psi=0.$$ $$\frac{dU}{d\psi}=-\left(\frac{M^2b^2\cos\psi}{(J+mb^2\sin^2\psi)^2}+ga\right)m\sin\psi=0.$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/8/818874184d34d30e53fd0e05cbaa1c7e82.png)
С этим ур-ем я уже сталкивался. Тут либо два корня, либо четыре. Оба случая описаны выше. Графиком
![$U(\psi)$ $U(\psi)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/4/b94ebc6072b5afd1f1fafa1807ba30cf82.png)
в случае четырех корней будет гладкая линия, симметричная относительно точки
![$\psi=\pi$ $\psi=\pi$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/6/2b6948f82cf231bd5f2d0e01b4057cce82.png)
, с максимумами в точках
![$\psi=0,\pi$ $\psi=0,\pi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/b/c9b39eebe5239e4fb7ca89bf1da377dc82.png)
и минимумами в точках
![$\psi=\pi \pm \Delta$ $\psi=\pi \pm \Delta$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/8/288f766589d558e212bf7c42eb1fa7da82.png)
, где
![$|\Delta|<\pi/2$ $|\Delta|<\pi/2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/e/68ec534f9294593109a57aa92bbed00182.png)
. В случае 2х корней, в нуле будет минимум, а в
![$\pi$ $\pi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/0/f30fdded685c83b0e7b446aa9c9aa12082.png)
максимум. Фазовыми траекториями будут семейства замкнутых линий
-- 07.04.2015, 17:09 --С трением должно быть немного сложнее. Точками равновесия, наверно, останутся те-же точки, но траекториями будут спирали.
-- 07.04.2015, 17:12 --А что происходит когда имеет место бифуркация? Появляется "странный аттрактор"?