Классическая задача на бифуркации.

[Oleg Zubelevich]

ничего этого не нужно, вообще ничего ,кроме приведеной потенциальной энергии не надо, чтобы понять где какие положения равновесия и нарисовать картинки, это когда трения нет. А в случае трения, тоже легко нарисовать фазовый портрет , просто из общих соображений.

[unistudent]

Oleg Zubelevich в сообщении #1001180 писал(а):

ничего этого не нужно, вообще ничего ,кроме приведеной потенциальной энергии не надо, чтобы понять где какие положения равновесия и нарисовать картинки, это когда трения нет. А в случае трения, тоже легко нарисовать фазовый портрет , просто из общих соображений.

Нарисовать фазовый портрет из общих соображений - это как, от руки, ничего не решая?

-- 07.04.2015, 15:16 --

А что здесь будет приведенной потенциальной энергией? Это как то связано с эффективным потенциалом?

[Oleg Zubelevich]

приведеный потенциал и эффективная потенциальная энергия это одно и тоже

-- Вт апр 07, 2015 15:37:05 --

unistudent в сообщении #1001183 писал(а):

Нарисовать фазовый портрет из общих соображений - это как, от руки, ничего не решая?

да, сначала в случае, когда трения нет нарисовать график эффективной потенциальной энергии, под ним нарисовать фазовый портрет. потом нарисовать фазовый портрет для случая трения

[Geen]

unistudent в сообщении #1001171 писал(а):

Совпадение лишь для случая $a=b$, и то, с точностью до знака перед $ga$.

Ну да (если Вы про ссылку) - для того примера я взял круглое кольцо с массой грузика и угол отсчитываю от направления вниз

P.S. по той ссылке добавил ещё один параметр ("частоту вращения")

[unistudent]

Geen в сообщении #1001202 писал(а):

Ну да (если Вы про ссылку) - для того примера я взял круглое кольцо с массой грузика и угол отсчитываю от направления вниз

Тогда понятно. Эллипс, однако, многое должен поменять, или нет?

[Geen]

unistudent в сообщении #1001204 писал(а):

Geen в сообщении #1001202 писал(а):

Ну да (если Вы про ссылку) - для того примера я взял круглое кольцо с массой грузика и угол отсчитываю от направления вниз

Тогда понятно. Эллипс, однако, многое должен поменять, или нет?

Это вопрос анализа.

[unistudent]

Приведенной потенциальной энергией назовем ту часть полной энергии

$$E=\frac{1}{2}\left[m(a^2 \sin^2\psi+ b^2\cos^2\psi)\dot \psi^2 +\frac{M^2}{(J+mb^2\sin^2\psi)}+ 2mga(1+\cos\psi)\right],$$

которая не содержит скоростей, т.е.

$$U(\psi)=\frac{1}{2}\frac{M^2}{(J+mb^2\sin^2\psi)}+ mga(1+\cos\psi).$$

Точками равновесия должны быть точки экстремумов ф-ии $U(\psi)$, т.е. такие, что

$$\frac{dU}{d\psi}=-\left(\frac{M^2b^2\cos\psi}{(J+mb^2\sin^2\psi)^2}+ga\right)m\sin\psi=0.$$

С этим ур-ем я уже сталкивался. Тут либо два корня, либо четыре. Оба случая описаны выше. Графиком $U(\psi)$ в случае четырех корней будет гладкая линия, симметричная относительно точки $\psi=\pi$, с максимумами в точках $\psi=0,\pi$ и минимумами в точках $\psi=\pi \pm \Delta$, где $|\Delta|<\pi/2$. В случае 2х корней, в нуле будет минимум, а в $\pi$ максимум. Фазовыми траекториями будут семейства замкнутых линий


-- 07.04.2015, 17:09 --

С трением должно быть немного сложнее. Точками равновесия, наверно, останутся те-же точки, но траекториями будут спирали.

-- 07.04.2015, 17:12 --

А что происходит когда имеет место бифуркация? Появляется "странный аттрактор"?

[unistudent]

Более подробные фазовые портреты.

Сверху случай без трения. Показаны траектории при разных значениях параметров. Снизу показаны по одной фазовой траектории для случаев 2 и 4 корня. Если корня два, то движение происходит по спирали с конечной остановкой в $\psi=\pi$. Если корня четыре, то конечных станций две, и в какой именно произойдет остановка, зависит от начальных условий. В этом случае, наверно, можно говорить о двух областях влияния. В какую из областей попадает траектория, там и остановка.

[Oleg Zubelevich]

на нижних картинках надо нарисовать правильно сепаратрисы

[Geen]

unistudent в сообщении #1001261 писал(а):

Сверху случай без трения.

Не вполне верно. Во-первых разные расстояния должны быть. Во-вторых, разной высоты потенциальный барьер....

[unistudent]

Oleg Zubelevich в сообщении #1001268 писал(а):

на нижних картинках надо нарисовать правильно сепаратрисы

Это можно сделать из общих соображений?

-- 07.04.2015, 19:22 --

Geen в сообщении #1001269 писал(а):

Не вполне верно. Во-первых разные расстояния должны быть. Во-вторых, разной высоты потенциальный барьер....

Какие расстояния, от чего до чего?

[Geen]

unistudent в сообщении #1001283 писал(а):

Какие расстояния, от чего до чего?

У Вас фокусы стоят на $\pi/2$ - это неверно.

[unistudent]

Geen в сообщении #1001341 писал(а):

unistudent в сообщении #1001283 писал(а):

Какие расстояния, от чего до чего?

У Вас фокусы стоят на $\pi/2$ - это неверно.

Я же написал, что $\psi=\pi\pm\Delta, |\Delta|<\pi/2$. Но на картинке, действительно, как будто в $\pi/2$. Ну а вообще, смахивает на то, что выдает ваша программа

[Geen]

unistudent в сообщении #1001346 писал(а):

Но на картинке, действительно, как будто в $\pi/2$.

Дело не столько в этом, а в том, что Вы потеряли класс траекторий, которые охватывают оба фокуса.

[unistudent]

Geen в сообщении #1001348 писал(а):

Вы потеряли класс траекторий, которые охватывают оба фокуса.

У меня два сообщения с портретами. И ни на одном из них этих траекторий нет?