тригонометрическая сумма, похожая на сумму Гаусса

[sup]

Сказать по-правде, данное доказательство (с поворотом и приближениями $\pi$) мне не очень нравится. Эклектика какая-то. У меня все еще остается надежда, что неограниченность сумм синусов/косинусов можно получить примерно также как и модуля - через некие суммы. Если это возможно (я имею в виду "простые" соображения, без "тяжелой артиллерии"), то скорее всего там не будет иметь значения синусы это или косинусы.

[ex-math]

sup в сообщении #1001129 писал(а):

неограниченность сумм синусов/косинусов можно получить примерно также как и модуля - через некие суммы.

Посмотрите еще раз доказательство для синусов, которое я привел выше. Там та же идея, но дело осложняется тем, что помимо линейной суммы (которая есть и в случае экспоненты) появляется также квадратичная. Кто знаком с равномерным распределением сразу скажет, что эта сумма есть $o (N)$. Это и имел в виду Тао, говоря о стандартных оценках Вейля. Тогда доказательство получается не сильно сложнее, чем для экспоненты. Если же оценка квадратичной суммы неизвестна, приходится еще и ее доказывать, что вполне элементарно, но удлиняет доказательство более чем вдвое.

-- 07.04.2015, 13:50 --

В Вашем последнем рассуждении меня еще смущает то, что мы исследуем аргумент "куска" суммы от $m$ до $m+l$. В случае модуля это почти то же самое, что и для всей суммы, а тут надо еще в этом убеждаться. Ну и довольно нетривиальная теорема Гурвица насчет корня из пяти.

[sup]

ex-math в сообщении #1001161 писал(а):

Посмотрите еще раз доказательство для синусов, которое я привел выше. Там та же идея

Да я и не спорю!
Ваш подход наверняка и более мощный. Но ведь речь то шла об "элементарном" выводе. Чуть позже, оценку для модуля Вы вообще вывели в одну строчку. Вот бы и с чистым синусом такое же получить. А то глядишь, можно вообще на какую-нибудь "классику" сослаться и тогда вообще ничего доказывать будет не надо. Так "не интересно". Ну, навроде, как поиски "элементарного" доказательства теоремы об асимптотическом поведении $\pi (x)$.
Что касается $\sqrt 5$, то там можно обойтись и простой 2-й. Угол поворота может получаться до $\pi /2$. Но это тоже неплохо. Синусы перегонит в косинусы и наоборот. Так что из одной неограниченности будет вытекать вторая.
Но, как я уже говорил, я был бы весьма доволен, если бы получилось короткое и простое доказательство на основе "простого" суммирования. А на нет и суда нет.