Группы и подгруппы

[AV_77]

Sinoid в сообщении #1000946 писал(а):

доказательство теоремы Лагранжа, теоремы о конечных группах

Кстати, теорема Лагранжа верна и для бесконечных групп.

Вообще не надо писать никаких индексов. Все очень просто. Есть два утверждения:
1) каждый элемент $x$группы $G$ содержится в некотором смежном классе по подгруппе $H$, а именно, в классе $xH$;
2) два смежных класса либо не пересекаются, либо совпадают.
Пусть теперь у нас есть какое либо разложение группы $G$ в смежные классы по подгруппе $H$, которые обозначим через $A_i$, $i \in I$. Пусть теперь $x$ - любой элемент из $G$. Тогда $xH$ - смежный класс. Этот класс должен пересекаться хотя бы с одним из классов $A_i$ (иначе смежные классы не образовывали бы разложения). Однако, если он пересекается с $A_i$, то эти классы совпадают, $xH = A_i$, в частности, $x \in A_i$.

Sinoid в сообщении #1000946 писал(а):

А может ли рассуждение уважаемого AV_77, дополненные моими рассуждениями, считаться альтернативным доказательством классическому доказательству теоремы о возможности единственного разложения конечной группы на сопряженные классы

Да, хоть ничего альтернативного здесь нет. Просто очень подробно, с ненужными уточнениями и дополнениями, расписано стандартное доказательство.

[AGu]

(Оффтоп)

AV_77 в сообщении #1000953 писал(а):

Ничего альтернативного здесь нет.

Ох... Так это никогда не закончится. Правильный ответ должен начинаться с «да». Пожалуйста, исправьте свое сообщение. Вот верный текст: «Да, хоть и ничего альтернативного здесь нет.»

[AV_77]

(Оффтоп)

AGu в сообщении #1000956 писал(а):

Пожалуйста, исправьте свое сообщение.

Без проблем

[provincialka]

Sinoid
А вы не пробовали такой прием. Взять доказательство и разобрать по шагам на конкретном примере. Вот, например, группа вычетов по модулю 7 (по умножению). Она состоит из элементов $\{\bar1,\bar2,\bar3,\bar4,\bar5,\bar6\}$. Подгруппой будет, например, $\{\bar1,\bar6\}$. Выберем элемент, не входящий в нее, скажем, $\bar2$. Получим смежный класс $\{\bar2,\bar5\}$. Теперь выберем элемент $\bar3$, он породит класс $\{\bar3,\bar4\}$.

А теперь попробуйте брать элементы по другому. Скажем, сначала $\bar3$, потом $\bar5$. Какие классы они породят?

Можно ли в качестве образующих брать элементы $\bar3$, $\bar4$? Такое опробование теоремы "ручками", без теоретизирования, укажет вам наглядно, что там происходит!

[Sinoid]

AGu в сообщении #1000949 писал(а):

А может ли рассуждение уважаемого AV_77, дополненные моими рассуждениями, считаться альтернативным доказательством классическому доказательству теоремы ДА!!!

Пожалуйста, не злитесь, я никого не хотел здесь вывести из себя. Вот все и выяснилось и встало на свои места. Мне ну просто очень помогла эта тема, теперь я буду знать, что рассуждать как в первом моем посте-ошибка, зато можно рассуждать классически (надеюсь, когда-нибудь пойму этот путь), но с таким же успехом в конечной группе можно рассуждать и по-другому. Как видите, никакой я не тролль. На будущее, когда увидите подобное мое дурацкое рассуждение, не проходите, пожалуйста, мимо, постарайтесь выбить ну хоть чуть-чуть дури из моей головы. Всем огромное спасибо за великотерпение.

[AGu]

[Sinoid]

provincialka в сообщении #1000964 писал(а):

Sinoid
А вы не пробовали такой прием. Взять доказательство и разобрать по шагам на конкретном примере. Вот, например, группа вычетов по модулю 7 (по умножению). Она состоит из элементов $\{\bar1,\bar2,\bar3,\bar4,\bar5,\bar6\}$. Подгруппой будет, например, $\{\bar1,\bar6\}$. Выберем элемент, не входящий в нее, скажем, $\bar2$. Получим смежный класс $\{\bar2,\bar5\}$. Теперь выберем элемент $\bar3$, он породит класс $\{\bar3,\bar4\}$.

А теперь попробуйте брать элементы по другому. Скажем, сначала $\bar3$, потом $\bar5$. Какие классы они породят?

Можно ли в качестве образующих брать элементы $\bar3$, $\bar4$? Такое опробование теоремы "ручками", без теоретизирования, укажет вам наглядно, что там происходит!

Это очень хороший прием, я им не раз пользовался, например, попадется хитрый определитель $n$-го порядка и вообще неясно, что с ним делать. Так я сначала 2-го порядка, потом 3-го, 5-го, нахожу общие моменты, а потом переносил на случай $n$ . Но, к сожалению, здесь этот метод мне ничего не дает: пишу многоточие и все. Что за ним происходит, Бог его знает.

[provincialka]

Sinoid в сообщении #1000980 писал(а):

пишу многоточие и все.

Зачем многоточие? Вы конкретную группу берите! Я же вам привела пример!

[Sinoid]

provincialka в сообщении #1000964 писал(а):

Можно ли в качестве образующих брать элементы $\bar3$, $\bar4$?

Нельзя: они принадлежат одному смежному классу

AGu в сообщении #1000973 писал(а):

:appl:

Я же не виноват, что так вижу.

-- 06.04.2015, 23:46 --

AV_77 в сообщении #1000953 писал(а):

Вообще не надо писать никаких индексов. Все очень просто. Есть два утверждения:
1) каждый элемент $x$группы $G$ содержится в некотором смежном классе по подгруппе $H$, а именно, в классе $xH$;
2) два смежных класса либо не пересекаются, либо совпадают.
Пусть теперь у нас есть какое либо разложение группы $G$ в смежные классы по подгруппе $H$, которые обозначим через $A_i$, $i \in I$. Пусть теперь $x$ - любой элемент из $G$. Тогда $xH$ - смежный класс. Этот класс должен пересекаться хотя бы с одним из классов $A_i$ (иначе смежные классы не образовывали бы разложения). Однако, если он пересекается с $A_i$, то эти классы совпадают, $xH = A_i$, в частности, $x \in A_i$.

А вот это мне полностью понятно.

-- 06.04.2015, 23:51 --

Вот и доказательство однозначности: 2 моих предполагаемых записи соединили в одну. Да, действительно, так лучше.

[Kras]

provincialka а что такое вычет? Мне просто не знаком этот термин.

[iifat]

Kras в сообщении #1001040 писал(а):

что такое вычет?

В данном контексте — множество натуральных чисел, дающих при делении на некое число (в данном случае 7) одинаковый остаток.

[Kras]

iifat
Ноль - тоже остаток.

[iifat]

Kras, это вопрос?
Если нам нужна группа по сложению, либо поле — мы берём все остатки. Если только группа по умножению, то ноль не берём. В любом случае, вы спрашивали, что такое вычет. Вычет — это (помимо прочих значений этого слова) — это именно подмножество целых чисел, имеющих одинаковый остаток от деления. Ноль тоже вычет.

[Kras]

iifat, меня просто удивил сам текст. Смотрите

provincialka в сообщении #1000964 писал(а):

Вот, например, группа вычетов по модулю 7 (по умножению). Она состоит из элементов $\{\bar1,\bar2,\bar3,\bar4,\bar5,\bar6\}$.

Но из прочего контекста суть задачи становится понятной. Другое дело, что ТС не хочет её решать.

-- 07.04.2015, 07:33 --

(iifat)

iifat в сообщении #1001057 писал(а):

Если только группа по умножению, то ноль не берём.

Да и ваш текст очень странный. Что значит ноль не берём? Попробуйте построить 'группу' из чисел $1,2,3,4,5$ с операцией умножения по модулю 6.

[iifat]

С составными модулями — таки да, множество проблем. И чо? А с нулём — берётесь построить группу?