2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение06.04.2015, 20:39 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Sinoid в сообщении #1000946 писал(а):
доказательство теоремы Лагранжа, теоремы о конечных группах

Кстати, теорема Лагранжа верна и для бесконечных групп.

Вообще не надо писать никаких индексов. Все очень просто. Есть два утверждения:
1) каждый элемент $x$группы $G$ содержится в некотором смежном классе по подгруппе $H$, а именно, в классе $xH$;
2) два смежных класса либо не пересекаются, либо совпадают.
Пусть теперь у нас есть какое либо разложение группы $G$ в смежные классы по подгруппе $H$, которые обозначим через $A_i$, $i \in I$. Пусть теперь $x$ - любой элемент из $G$. Тогда $xH$ - смежный класс. Этот класс должен пересекаться хотя бы с одним из классов $A_i$ (иначе смежные классы не образовывали бы разложения). Однако, если он пересекается с $A_i$, то эти классы совпадают, $xH = A_i$, в частности, $x \in A_i$.

Sinoid в сообщении #1000946 писал(а):
А может ли рассуждение уважаемого AV_77, дополненные моими рассуждениями, считаться альтернативным доказательством классическому доказательству теоремы о возможности единственного разложения конечной группы на сопряженные классы

Да, хоть ничего альтернативного здесь нет. Просто очень подробно, с ненужными уточнениями и дополнениями, расписано стандартное доказательство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение06.04.2015, 20:49 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск

(Оффтоп)

AV_77 в сообщении #1000953 писал(а):
Ничего альтернативного здесь нет.
Ох... Так это никогда не закончится. Правильный ответ должен начинаться с «да». Пожалуйста, исправьте свое сообщение. Вот верный текст: «Да, хоть и ничего альтернативного здесь нет.»

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение06.04.2015, 20:51 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва

(Оффтоп)

AGu в сообщении #1000956 писал(а):
Пожалуйста, исправьте свое сообщение.

Без проблем :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение06.04.2015, 21:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Sinoid
А вы не пробовали такой прием. Взять доказательство и разобрать по шагам на конкретном примере. Вот, например, группа вычетов по модулю 7 (по умножению). Она состоит из элементов $\{\bar1,\bar2,\bar3,\bar4,\bar5,\bar6\}$. Подгруппой будет, например, $\{\bar1,\bar6\}$. Выберем элемент, не входящий в нее, скажем, $\bar2$. Получим смежный класс $\{\bar2,\bar5\}$. Теперь выберем элемент $\bar3$, он породит класс $\{\bar3,\bar4\}$.

А теперь попробуйте брать элементы по другому. Скажем, сначала $\bar3$, потом $\bar5$. Какие классы они породят?

Можно ли в качестве образующих брать элементы $\bar3$, $\bar4$? Такое опробование теоремы "ручками", без теоретизирования, укажет вам наглядно, что там происходит!

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение06.04.2015, 21:24 


03/06/12
2742
AGu в сообщении #1000949 писал(а):
А может ли рассуждение уважаемого AV_77, дополненные моими рассуждениями, считаться альтернативным доказательством классическому доказательству теоремы ДА!!!

Пожалуйста, не злитесь, я никого не хотел здесь вывести из себя. Вот все и выяснилось и встало на свои места. Мне ну просто очень помогла эта тема, теперь я буду знать, что рассуждать как в первом моем посте-ошибка, зато можно рассуждать классически (надеюсь, когда-нибудь пойму этот путь), но с таким же успехом в конечной группе можно рассуждать и по-другому. Как видите, никакой я не тролль. На будущее, когда увидите подобное мое дурацкое рассуждение, не проходите, пожалуйста, мимо, постарайтесь выбить ну хоть чуть-чуть дури из моей головы. Всем огромное спасибо за великотерпение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение06.04.2015, 21:27 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
:appl:

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение06.04.2015, 21:44 


03/06/12
2742
provincialka в сообщении #1000964 писал(а):
Sinoid
А вы не пробовали такой прием. Взять доказательство и разобрать по шагам на конкретном примере. Вот, например, группа вычетов по модулю 7 (по умножению). Она состоит из элементов $\{\bar1,\bar2,\bar3,\bar4,\bar5,\bar6\}$. Подгруппой будет, например, $\{\bar1,\bar6\}$. Выберем элемент, не входящий в нее, скажем, $\bar2$. Получим смежный класс $\{\bar2,\bar5\}$. Теперь выберем элемент $\bar3$, он породит класс $\{\bar3,\bar4\}$.

А теперь попробуйте брать элементы по другому. Скажем, сначала $\bar3$, потом $\bar5$. Какие классы они породят?

Можно ли в качестве образующих брать элементы $\bar3$, $\bar4$? Такое опробование теоремы "ручками", без теоретизирования, укажет вам наглядно, что там происходит!

Это очень хороший прием, я им не раз пользовался, например, попадется хитрый определитель $n$-го порядка и вообще неясно, что с ним делать. Так я сначала 2-го порядка, потом 3-го, 5-го, нахожу общие моменты, а потом переносил на случай $n$ . Но, к сожалению, здесь этот метод мне ничего не дает: пишу многоточие и все. Что за ним происходит, Бог его знает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение06.04.2015, 21:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Sinoid в сообщении #1000980 писал(а):
пишу многоточие и все.

Зачем многоточие? Вы конкретную группу берите! Я же вам привела пример!

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение06.04.2015, 22:07 


03/06/12
2742
provincialka в сообщении #1000964 писал(а):
Можно ли в качестве образующих брать элементы $\bar3$, $\bar4$?

Нельзя: они принадлежат одному смежному классу
AGu в сообщении #1000973 писал(а):
:appl:

Я же не виноват, что так вижу.

-- 06.04.2015, 23:46 --

AV_77 в сообщении #1000953 писал(а):
Вообще не надо писать никаких индексов. Все очень просто. Есть два утверждения:
1) каждый элемент $x$группы $G$ содержится в некотором смежном классе по подгруппе $H$, а именно, в классе $xH$;
2) два смежных класса либо не пересекаются, либо совпадают.
Пусть теперь у нас есть какое либо разложение группы $G$ в смежные классы по подгруппе $H$, которые обозначим через $A_i$, $i \in I$. Пусть теперь $x$ - любой элемент из $G$. Тогда $xH$ - смежный класс. Этот класс должен пересекаться хотя бы с одним из классов $A_i$ (иначе смежные классы не образовывали бы разложения). Однако, если он пересекается с $A_i$, то эти классы совпадают, $xH = A_i$, в частности, $x \in A_i$.

А вот это мне полностью понятно.

-- 06.04.2015, 23:51 --

Вот и доказательство однозначности: 2 моих предполагаемых записи соединили в одну. Да, действительно, так лучше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение07.04.2015, 01:40 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
provincialka а что такое вычет? Мне просто не знаком этот термин.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение07.04.2015, 02:11 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Kras в сообщении #1001040 писал(а):
что такое вычет?
В данном контексте — множество натуральных чисел, дающих при делении на некое число (в данном случае 7) одинаковый остаток.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение07.04.2015, 02:43 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
iifat
Ноль - тоже остаток.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение07.04.2015, 04:47 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Kras, это вопрос?
Если нам нужна группа по сложению, либо поле — мы берём все остатки. Если только группа по умножению, то ноль не берём. В любом случае, вы спрашивали, что такое вычет. Вычет — это (помимо прочих значений этого слова) — это именно подмножество целых чисел, имеющих одинаковый остаток от деления. Ноль тоже вычет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение07.04.2015, 05:19 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
iifat, меня просто удивил сам текст. Смотрите
provincialka в сообщении #1000964 писал(а):
Вот, например, группа вычетов по модулю 7 (по умножению). Она состоит из элементов $\{\bar1,\bar2,\bar3,\bar4,\bar5,\bar6\}$.

Но из прочего контекста суть задачи становится понятной. Другое дело, что ТС не хочет её решать.

-- 07.04.2015, 07:33 --

(iifat)

iifat в сообщении #1001057 писал(а):
Если только группа по умножению, то ноль не берём.

Да и ваш текст очень странный. Что значит ноль не берём? Попробуйте построить 'группу' из чисел $1,2,3,4,5$ с операцией умножения по модулю 6.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение07.04.2015, 05:48 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
С составными модулями — таки да, множество проблем. И чо? А с нулём — берётесь построить группу?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 88 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group