вопросы по линейной алгебре

[illuminates]

1) Почему про операцию интегрирования и дифференцирования говорят, что это есть линейный оператор? Мне каэется, что это есть линейное отображение. Ведь, если взять какой-нибудь полином, то скажем операция дифференцирования понизит его степень на один. Вродебы вылетое линейное отображение - перевод из пространства размерности $n$, в пространство размерности $n-1$
2) Линейные формы, полилинейные формы не имеют никакой связи с дифференцальными формами? Слово "формы" не означает, что это сущности чем-то похожи? (я просто узнал про диф. формы буквально сейчас, но чего-то не сильно понял. )

[ex-math]

1. Многочлены степени $n$ не образуют линейного пространства.
2. Форма -- это однородный многочлен.

[illuminates]

1) Я имею ввиду полиномы. Хотя это кажется одно и тоже. Посмотрите пожауйста здесь пример номер один [url]http://pmpu.ru/vf4/mapping#примеры_линейных_отображений[/url]
3) Ещё есть вопрос. Говорят что полилинейной формой нельзя определить все тензоры. Так линейный оператор является тензором но не является полилинейной формой (это кажется очевидно, ведь полилинейная форма отображает в поле чисел, в отличие от линейного оператора который оторажает в линейное пространство). То есть если я читаю книгу в которой тензор определяется через полилинейную форму, и далее из этого утверждения выводится вся алгебра тензоров, эта алгебра тензоров верна лишь для части тензоров? В википедии даётся определение тензора через тензорное прозведение пространств

[Terraniux]

illuminates в сообщении #999715 писал(а):

1) Я имею ввиду полиномы. Хотя это кажется одно и тоже.

Что же является нулем в этом линпространстве?

[illuminates]

Terraniux в сообщении #999717 писал(а):

Что же является нулем в этом линпространстве?

Видемо обычный числовой ноль. То есть автор статьи неправ?

[Munin]

ex-math в сообщении #999709 писал(а):

1. Многочлены степени $n$ не образуют линейного пространства.

Ну, если им разрешить иметь нулевые коэффициенты при старших степенях (до 0-й включительно), то образуют. Но тогда дифференцирование - оператор, конечно же.

illuminates в сообщении #999708 писал(а):

2) Линейные формы, полилинейные формы не имеют никакой связи с дифференцальными формами? Слово "формы" не означает, что это сущности чем-то похожи? (я просто узнал про диф. формы буквально сейчас, но чего-то не сильно понял. )

Дифференциальные формы - это функции, отображающие точку в полилинейную форму. В этом смысле их соотношение аналогично такому:

векторное поле (векторнозначная функция) - вектор.

Правда, есть нюанс, что на многообразиях подразумевается не одно на все точки пространство полилинейных форм, а - по отдельному пространству в каждой точке многообразия. Это пространство, построенное из касательного пространства, в котором можно отложить касательные векторы. Но дифференциальные формы в плоских пространствах - это именно всего лишь полилинейноформно-значные функции от точки.

[Brukvalub]

Munin в сообщении #999720 писал(а):

ex-math в сообщении #999709 писал(а):

1. Многочлены степени $n$ не образуют линейного пространства.

Ну, если им разрешить иметь нулевые коэффициенты при старших степенях (до 0-й включительно), то образуют. ...

Так разрешать нельзя, иначе потеряется понятие "степень многочлена".

[Terraniux]

illuminates в сообщении #999718 писал(а):

Видемо обычный числовой ноль. То есть автор статьи неправ?

Вы немного не поняли. Многочлены степени не выше $n$ - образуют. А просто степени $n$ - Нет.

[ewert]

illuminates в сообщении #999708 писал(а):

Почему про операцию интегрирования и дифференцирования говорят, что это есть линейный оператор? Мне каэется, что это есть линейное отображение.

Оператор и отображение -- это одно и то же.

illuminates в сообщении #999718 писал(а):

Видемо обычный числовой ноль.

Нет. Полином и число -- это разные объекты.

Brukvalub в сообщении #999724 писал(а):

Так разрешать нельзя, иначе потеряется понятие "степень многочлена".

Если нельзя, но очень хочется, то можно. Это вполне себе традиция -- понимать под "многочленами степени $n$" многочлены степени не выше $n$. Просто потому, что повторять постоянно "не выше" мало того что утомительно, ак ещё и литературный стиль портит.

[illuminates]

Munin в сообщении #999720 писал(а):

Дифференциальные формы - это функции, отображающие точку в полилинейную форму.

То есть диф формы это "обратные полилинейные формы"? То есть такие, что
$ K \rightarrow L^* \times ... \times L^* \times L \times ... \times L $ ?

Munin в сообщении #999720 писал(а):

Правда, есть нюанс, что на многообразиях подразумевается не одно на все точки пространство полилинейных форм, а - по отдельному пространству в каждой точке многообразия.

Вроде бы это и понятно - полинейная форма по определеню задаёт линейное пространство.

Munin в сообщении #999720 писал(а):

Это пространство, построенное из касательного пространства, в котором можно отложить касательные векторы.

А это уже не понятно. Касательное пространство к чему? К пространству полилинейной формы?

Terraniux в сообщении #999725 писал(а):

Вы немного не поняли. Многочлены степени не выше $n$ - образуют. А просто степени $n$ - Нет.

а почему? Это как для векторов - могут быть векторы (2, 3, 5), а могут быть и векторы (2, 0, 5)?

ewert в сообщении #999728 писал(а):

Оператор и отображение -- это одно и то же.

Под отображением я понимаю: $L \rightarrow K$, а под оператором я понимаю: $L \rightarrow L$

[Munin]

illuminates в сообщении #999857 писал(а):

То есть диф формы это "обратные полилинейные формы"?

Нет, конечно.

Вы знаете, что такое функция от нескольких переменных? Например, $f(x,y,z)=x+y^2-\sin z$? Её можно назвать функцией от точки в трёхмерном пространстве.

illuminates в сообщении #999857 писал(а):

Вроде бы это и понятно - полинейная форма по определеню задаёт линейное пространство.

Ровно наоборот: полилинейная форма - элемент полилинейного пространства, построенного над линейным (= векторным) пространством.

illuminates в сообщении #999857 писал(а):

А это уже не понятно. Касательное пространство к чему? К пространству полилинейной формы?

Непонятно - забудьте. Это вам сейчас ни к чему. Начнёте дифференциальную геометрию и топологию - вернётесь к этому вопросу.

[Deggial]

Новый вопрос отделён

[Terraniux]

illuminates в сообщении #999857 писал(а):

а почему? Это как для векторов - могут быть векторы (2, 3, 5), а могут быть и векторы (2, 0, 5)?

Тогда что является нулем в этом пространстве? Обычный нуль? Но он не является многочленом степени $n$.

[illuminates]

Munin
Но всё же диф. форму можно определить как:
$ K \rightarrow L^* \times ... \times L^* \times L \times ... \times L $ ?

[Munin]

$D\to(L^*\wedge\ldots\wedge L^*),$ если вам очень хочется, и то не всегда.