Основная теорема арифметики. Простое док-во.

[freedom_of_heart]

Где можно найти простое доказательство, какое вам больше всего нравится?
Вот в википедии 2 доказательства есть.

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1 ... 0%BA%D0%B8

Но есть ли где-то лучше? (я имею ввиду, чтобы было понятно даже школьнику)

-- Вс апр 05, 2015 18:56:11 --

Еще вот такое док-во есть http://www.youtube.com/watch?v=eAuubSwhQ4g Как Вам?

[Sonic86]

freedom_of_heart в сообщении #1000585 писал(а):

Где можно найти простое доказательство, какое вам больше всего нравится?
Вот в википедии 2 доказательства есть.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1 ... 0%BA%D0%B8

Но есть ли где-то лучше? (я имею ввиду, чтобы было понятно даже школьнику)

ИМХО, 1-е - это стандартное и самое простое доказательство.

freedom_of_heart в сообщении #1000585 писал(а):

Еще вот такое док-во есть http://www.youtube.com/watch?v=eAuubSwhQ4g Как Вам?

20 мин - это сильно много.

[bot]

Sonic86 в сообщении #1000601 писал(а):

20 мин - это сильно много

Это не только много, но и неправильно. Он долго и нудно толдычит о том, что если произведение чисел делится на простое, то одно из них делится на это простое и нигде не упоминает операцию сложения. Между тем без участия этой операции этого доказать нельзя и теорему тоже.
Контрпример, например, такой (Гильберт, возможно не дословно)
Рассмотрим числа, сравнимые с 1 по модулю 3. Это множество замкнуто относительно умножения. Каждое из чисел 4, 10, 22, 55 лежит в этом множестве и имеет в нём ровно два делителя, то есть простые. Теперь число, которое у каждого из нас в розетке, раскладывается двумя способами на простые: $220=10\cdot 22=4\cdot 55.$

[gefest_md]

План (Доказательства пунктов 1, 4, 5 есть в книге Daniel Velleman "How to prove it", в главе об индукции).

1. Для любых $n,\ m\in\mathbb{N}$, если $m>0$, то существуют $q,\ r\in\mathbb{N}$ такие, что $n=mq+r$ и $r<m.$ (Доказывается возвратной индукцией.)

2. Любые $a,\ b\in\mathbb{Z}^+$ имеют наибольший общий делитель. Доказательство начинается с построения множества $S=\{x\in\mathbb{Z}^+\mid\exists s\in\mathbb{Z}\exists t\in\mathbb{Z}(x=as+bt)\}$ (Используется 1.)

3. (a) Пусть $a,\ b,\ p\in\mathbb{Z}^+$ и $p$ - простое. Если $ab\mathop{\vdots} p$, то $a\mathop{\vdots} p$ или $b\mathop{\vdots} p$ (Используется то, что наибольший общий делитель чисел $a$ и $p$ представим в виде $as+pt$, согласно 2.)
(b) Если $a_1,\ \dots,\ a_n\in\mathbb{Z}^+$, $p$ - простое и $a_1\dots a_n\mathop{\vdots} p$, то существует $1\leqslant i\leqslant n$, что $a_i\mathop{\vdots} p.$

4. Существование.

5. Единственность. (Используется 3.)

[mihailm]

Калужнин Л.А. Основная теорема арифметики.
Это из серии популярных лекций по математике.