Разрывные линейные функционалы

[AGu]

На сей раз задачка без выкрутасов — просто развлечься.

Топологическое векторное пространство назовем интересным,
если на нем существует разрывный линейный функционал.

Пусть $X$ — отделимое топологическое векторное пространство,
$Y\subset X$ — замкнутое подпространство конечной коразмерности.
Доказать, что если $X$ интересно, то и $Y$ интересно.

[Hasek]

В любом бесконечномерном пространстве существует разрывная линейная функция (функционал). Если коразмерность конечна, то само подпространство тоже бесконечномерно. Значит в нём тоже есть разрывный линейный функционал.

[AGu]

Hasek в сообщении #1000741 писал(а):

В любом бесконечномерном пространстве существует разрывная линейная функция (функционал).

Это неверно. Вероятно, Вы не заметили, что речь идет о произвольных топологических векторных пространствах, а не о нормированных пространствах.

[Oleg Zubelevich]

(для лвп)
$X=Y\oplus V,\quad Y=\bigcap_{k=1}^n\ker f_k,\quad f_k\in X',\quad V'=\mathrm{span}\{f_k\},$ $ f=\sum_{k=1}^n\lambda_kf_k+g,\quad g(V)=0,\quad f\notin X'\Longrightarrow g\mid_Y\notin Y'$

[AGu]

Oleg Zubelevich в сообщении #1000763 писал(а):

$X=Y\oplus V,\quad Y=\bigcap_{k=1}^n\ker f_k,\quad f_k\in X',\quad V'=\mathrm{span}\{f_k\},$ $ f=\sum_{k=1}^n\lambda_kf_k+g,\quad g(V)=0,\quad f\notin X'\Longrightarrow g\mid_Y\notin Y'$

Это мне нравится.

Oleg Zubelevich в сообщении #1000763 писал(а):

И это — тоже.

Простите мне мое нездоровое занудство, но я издам несколько тихих-претихих ворчаний (почти что мурчаний).
Там должно быть не $V'=\mathrm{span}\{f_k\}$, а $V'=\mathrm{span}\{f_k|_V\}$ (точнее, $V'=\mathrm{span}\{f_1|_V,\dots,f_n|_V\}$).
Также стоит заметить, что $g(V)=0$ не для любого $f$, как можно было бы подумать, а для подходящего (чего нам хватает).
Импликацию $f\notin X'\Rightarrow g|_Y\notin Y'$ готов признать очевидной, хотя она почти равносильна самой задаче.
(Фактически задача была на топологичность прямой суммы $X=Y\oplus V$, т.е. на непрерывность соответствующих проекторов.)
Ну и напоследок — возможное отсутствие локальной выпуклости тут помехой не является.

Спасибо. Я удовлетворен развлечением.

[Oleg Zubelevich]

AGu в сообщении #1000778 писал(а):

должно быть не $V'=\mathrm{span}\{f_k\}$, а $V'=\mathrm{span}\{f_k|_V\}$ (точнее, $V'=\mathrm{span}\{f_1|_V,\dots,f_n|_V\}$).

разумеется

AGu в сообщении #1000778 писал(а):

Также стоит заметить, что $g(V)=0$ не для любого $f$, как можно было бы подумать, а для подходящего (чего нам хватает).

по любому $f$ восстанавливаются $\lambda_k$, а затем определеляется $g$

AGu в сообщении #1000778 писал(а):

Импликацию $f\notin X'\Rightarrow g|_Y\notin Y'$ готов признать очевидной, хотя она почти равносильна самой задаче

Действительно очевидно. Рассмотрим направленность $x_\alpha=x^V_\alpha+x^Y_\alpha\to 0,\quad x^V_\alpha\in V,\quad x^Y_\alpha\in Y $ на которой $f(x_\alpha)\nrightarrow 0$. Поскольку $f_k(x_\alpha)=f_k(x^V_\alpha)\to 0$ имеем $x_\alpha^V\to 0$, а значит $x^Y_\alpha\to 0$. ну и понятно, что $g(x_\alpha^Y)=g(x_\alpha)=f(x_\alpha)-\sum...\nrightarrow 0$.
Ну а вообще, да ,тут рядом и топологическая дополняемость замкнутого подпространства конечной коразмерноости.

-- Пн апр 06, 2015 11:31:29 --

AGu в сообщении #1000778 писал(а):

Ну и напоследок — возможное отсутствие локальной выпуклости тут помехой не является.

в этом я уже не бум-бум, знаю только, что в общем случае непрерывных функционалов может оказаться катострофически мало

[AGu]

Вот теперь — вообще все понятно. Красота. Спасибо.

[red_alert]

Предложу еще пару задачек по теме.

1) Всякое ли метризуемое бесконечномерное ТВП интересно?
2) Всякое ли нетощее (= второй категории по Бэру) бесконечномерное ТВП интересно?

[AGu]

red_alert в сообщении #1003799 писал(а):

1) Всякое ли метризуемое бесконечномерное ТВП интересно?

Ответ: «да».

Мы недавно вспоминали, что для интересности достаточно наличие незамкнутого линейно независимого множества.
В частности, достаточно наличие линейно независимой последовательности, сходящейся к нулю.
(Если $x_n$ линейно независимы, то существует такой линейный функционал $f$, что $f(x_n)=1$ для всех $n$,
а если, кроме того, $x_n\to0$, то такой $f$ разрывен.)
В метризуемом случае имеется нужная последовательность.
Действительно, положим $B_n:=B(0,\tfrac1n)=\{x:\rho(0,x)<\tfrac1n\}$, где $\rho$ — совместимая метрика.
(Альтернативное начало:

Метризуемость влечет наличие счетной базы $\{B_n:n\in\mathbb N\}$ окрестностей нуля,
причем можно считать, что $B_n\supset B_{n+1}$ для всех $n$.
Кстати, в отделимом случае, это, помнится, даже равносильно метризуемости.)

Рассмотрим призвольную линейно независимую последовательность $x_n$.
Поскольку $B_n$ поглощающие, найдутся ненулевые числа $\alpha_n$ такие, что $\alpha_nx_n\in B_n$.
Ясно, что $\alpha_nx_n$ линейно независимы и $\alpha_nx_n\to0$.

[AGu]

red_alert в сообщении #1003799 писал(а):

2) Всякое ли нетощее (= второй категории по Бэру) бесконечномерное ТВП интересно?

Ответ: «да».

Пусть $X$ — скучное бесконечномерное ТВП. Покажем, что $X$ является тощим.
Из скучности $X$ следует замкнутость всех его векторных подпространств.
Следовательно, любое собственое подпространство $X$ нигде не плотно.

(Действительно, если (замкнутое) подпространство $Y$ имеет внутреннюю точку $y$,
то $Y=Y-y$ является окрестностью нуля, а значит, $X=\bigcup_{n\in\mathbb N}nY=Y$.)

Рассмотрим произвольную линейно независимую последовательность $e_n\in X$,
дополним ее до базиса $\{e_n:n\in\mathbb N\}\cup E$ и положим $X_n:=\operatorname{lin}(\{e_1,\dots,e_n\}\cup E)$.
Будучи собственными подпространствами, $X_n$ нигде не плотны, причем $X=\bigcup_{n\in\mathbb N}X_n$.
Стало быть, $X$ является тощим.

[red_alert]

AGu, да, все так :) Сам я рассуждал подобным образом.

[AGu]

red_alert, спасибо. Приятные задачи.