Вторая квадратичная форма поверхности

[kond]

Для каких поверхностей вторая квадратичная форма является полным квадратом?

Можно в лоб расписать квадратичную форму, через скалярное вторых производных и нормали, составить уравнение, что произведение диагональных элементов равно угловому. но получится уравнение со скалярным произведение, которое я не умею решать и еще к тому же в частных производных. нужен какой-то другой подход, видимо.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Red_Herring]

А что значит, что вторая квадратичная форма—полный квадрат (что можно сказать о главных кривизнах)?

[kond]

если вторую форму записать как матрицу, то произведение диагональных элементов равно угловому.

для поиска главных кривизн нужна еще первая форма, а про нее, вроде, не ясно, что можно хорошего сказать

[Red_Herring]

Подумайте, что можно сказать про квадратичную форму, которая полный квадрат? Что можно сказать о с.з. матрицы?

[svv]

kond в сообщении #1021725 писал(а):

если вторую форму записать как матрицу, то произведение диагональных элементов равно угловому

Исправьте неточность (или неясность). Произведение элементов на главной диагонали, т.е. $L$ и $N$, равно ...

[kond]

B(x,y) = L*x^2+2*F*x*y+N*y^2

L*N = F

[svv]

1. По правилам форума все формулы записываются с помощью $\TeX$, иначе модератор отправит тему в Карантин.
Краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу math» и видеоролик Как записывать формулы.

2. Вторая квадратичная форма поверхности — это такое выражение:
$L\,du^2+2M\,du\,dv+N\,dv^2$
Сравните со своим вариантом. $F$ — это из первой квадратичной формы.

3. Вот это выражение и должно быть полным квадратом, то есть $(a\,du+b\,dv)^2$. Раскройте здесь скобки и приравняйте коэффициенты при дифференциалах. Может быть, это поможет исправить ошибку (даже после исправления $F$ на $M$, вариант $LN=M$ неправильный).

4. Обратите внимание, что при правильной записи формул знак умножения почти никогда не приходится ставить.

[kond]

Согласен.

Извините за нарушение правил.

[svv]

Так вот, раскрывая там скобки, получаем
$a^2\,du^2+2ab\,du\,dv+b^2\,dv^2=L\,du^2+2M\,du\,dv+N\,dv^2$,
то есть
$\begin{bmatrix}a^2&ab\\ab&b^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}$
Теперь, глядя на это, исправьте ошибку.

[kond]

$ M^2 = LN $

[svv]

Правильно. А что тогда можно сказать об определителе этой матрицы?

[kond]

Он равен нулю.

Но пока непонятно как это связать с поверхностью.

[svv]

Знаете ли Вы, как выражаются гауссова и средняя кривизна через коэффициенты квадратичных форм?