2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Не дается задачка по матану за 2 курс
Сообщение29.01.2015, 22:03 


29/01/15
15
Найти наибольший объем прямоугольного параллелепипеда, вписанного в прямой круговой конус, радиус основания которого равен 8, а высота - 10.
Звучит очень легко, но я просто застопорился. Выглядит как задача на метод множителей Лагранжа, но т.к. даны числа, то вроде можно просто геометрией решить. Короче, я запутался) Буду благодарен если кто поможет)

 Профиль  
                  
 
 Re: Не дается задачка по матану за 2 курс
Сообщение29.01.2015, 22:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1727
Москва
Разумно предположить, что он ровненько стоит на торце. Тогда все сводится к плоской задаче. Геометрией вряд ли удобно, а вот свести к экстремуму функции одной переменной можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не дается задачка по матану за 2 курс
Сообщение29.01.2015, 22:30 


29/01/15
15
Я не совсем понимаю что у параллелепипеда можно назвать торцом) просто одна из граней? Я пытался решить так: основание параллелепипеда=квадрат, т.к. у него наибольшая площадь среди прямоугольников вписанных в круг. Тогда его диагональ это 16, дальше уже легко найти и высоту параллелепипеда. Но, видимо, в моих суждениях есть ошибка, т.к. на ответ не похоже)

 Профиль  
                  
 
 Re: Не дается задачка по матану за 2 курс
Сообщение29.01.2015, 22:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1727
Москва
С чего это 16? Квадрат же вписан не в основание конуса, а в окружность, находящуюся на высоте $h$. Ее радиус можно выразить через $h$.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение29.01.2015, 23:44 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8937
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Не дается задачка по матану за 2 курс
Сообщение29.01.2015, 23:44 
Аватара пользователя


29/01/15
298
ВШЭ, НМУ
Если угол раствора конуса $\theta$, то объём параллелепипеда выражается как $V=2R^2h$, а радиус $R$ и высота $h$ связаны соотношением $R=h\tg\theta$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не дается задачка по матану за 2 курс
Сообщение30.01.2015, 00:09 
Аватара пользователя


08/01/13
243
Hasek, $V=V(h)$, действительно должно быть. Но у Вас получилась линейная зависимость. Где здесь максимум? А объем V$, очевидно при $V(0)=0$, и $V(10)=0$.
Поэтому $V$ имеет максимум при $0 <h<10$ . Т.е. функцию V(h) нужно "доработать". Здесь $h$ - высота параллелепипеда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не дается задачка по матану за 2 курс
Сообщение30.01.2015, 00:31 
Аватара пользователя


29/01/15
298
ВШЭ, НМУ
Neos в сообщении #970899 писал(а):
Hasek, $V=V(h)$, действительно должно быть. Но у Вас получилась линейная зависимость. Где здесь максимум? А объем V$, очевидно при $V(0)=0$, и $V(10)=0$.
Поэтому $V$ имеет максимум при $0 <h<10$ . Т.е. функцию V(h) нужно "доработать". Здесь $h$ - высота параллелепипеда.

Согласен, не прав. $V=2R^2(h-10)$, уравнение связи то же, тогда максимум объёма получится при $h=6\frac{2}{3}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не дается задачка по матану за 2 курс
Сообщение30.01.2015, 00:45 
Аватара пользователя


08/01/13
243
Hasek, уже "ближе". А как Вы использовали $ \tg\theta $ ?
$h$ должно входить как $-h^{2}$, т.е. перевернутая парабола. Затем, в формуле должен быть $\sqrt{2}$ - окружность проходит через вершины квадрата. Вычислите длину его стороны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не дается задачка по матану за 2 курс
Сообщение30.01.2015, 00:58 
Аватара пользователя


29/01/15
298
ВШЭ, НМУ
Neos,
Цитата:
А как Вы использовали $ \tg\theta $ ?

$\tg \theta$ я действительно забыл использовать, в заданной топикстартером конфигурации его можно вычислить и получается $\tg \theta = 0,8$.
Цитата:
$h$ должно входить как $-h^{2}$, т.е. перевернутая парабола.

Не понимаю, почему Вы всё же хотите заменить $h$ на $-h^2$? Объём параллелепипеда записан как произведение основания (квадрат, вписанный в круг) на высоту, а уравнение связи -- не что иное как уравнение конуса в цилиндрических координатах, если не ошибаюсь.
Цитата:
Затем, в формуле должен быть $\sqrt{2}$ - окружность проходит через вершины квадрата. Вычислите длину его стороны.

Площадь квадрата, вписанного в круг радиуса $R$ -- это $2R^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не дается задачка по матану за 2 курс
Сообщение30.01.2015, 14:33 


29/01/15
15
В ответе измерения параллелепипеда ​$2r\sqrt{\frac23}$, $2r\sqrt{\frac23}$, $h/3$
И я абсолютно не понимаю как могло это получиться
Я нарисовал осевое сечение конуса и подставил туда $h/3$ как высоту параллелепипеда. Получил $x=2r/3$, т.е. как в ответе но без корня. Где я ошибаюсь?
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Не дается задачка по матану за 2 курс
Сообщение30.01.2015, 14:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1727
Москва
Наверно, в ответе все же $2r\sqrt 2/3$. Вы не учитываете, что $x$ -- это не сторона основания, а половина его диагонали.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение30.01.2015, 15:53 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5681
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

izirekter
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

 Профиль  
                  
 
 Re: Не дается задачка по матану за 2 курс
Сообщение30.01.2015, 16:03 


29/01/15
15
Да, видимо $2r\sqrt{2}/3$
Преподаватель сегодня сказал найти высоту через подобие треугольников, сижу делаю, пока что я так выражаю, что у меня все сокращается)

 Профиль  
                  
 
 Re: Не дается задачка по матану за 2 курс
Сообщение30.01.2015, 16:58 
Аватара пользователя


08/01/13
243
izirekter, ваша задача относится к классу задач на экстремум. Все они решаются по одной схеме.
1. Величина (в данном случае объем параллелепипеда вписанного в конус), выражается в виде функции от одной переменной, ( в данном случае $h$ - высота параллелепипеда).
2. Берется первая производная и приравнивается нулю.
3. Решается уравнение $dV/dh=0$ и находится $h_{\max}$
4. В выражение для $V$ подставляете $h_{\max}$ и получаете $V_{\max}$. Все. И тысячи задач решаются по этой схеме.
==============================================
Дано:
H - высота конуса
R - радиус основания конуса
-------------------------------
$V_{\max} = ? $

РЕШЕНИЕ. Пересечем конус плоскостью, параллельной основанию на высоте $h$ от основания. В результате пересечения плоскости и конуса получили окружность. Впишем в нее квадрат. Вычислим площадь квадрата. Половина диагонали его равна радиусу $r$ описанной. Радиус $r$ находим из подобия треугольников, или используя определение тангенса, что фактически одно и то же.

izirekter, аккуратно вычислите площадь квадрата у умножьте на высоту $r$.
Получите некую кубическую функцию $V = V(h) $. И действуете по схеме.

PS. Корня квадратного в результате нет, он "возвелся в квадрат" при вычислении площади квадрата. Насчет просто параболы я тоже "промахнулся". Мы имеем кубическую параболу.
Полагаю, что это не "халява", вам есть что посчитать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group