2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 17:54 
Аватара пользователя


06/01/15
78
Нужно доказать, что функция $ r: M  \times M \to R $ задает метрику на $ M $, если она удовлетворяет системе аксиом:
1) $ r(x,y)=0 \Leftrightarrow x =y $
2) $ r(x,y) \leq r(x,z) + r(y,z) $
То есть по сути нужно доказать, что аксиомы метрики эквиваленты этим двум, так я понимаю. Так как аксиома треугольника здесь присутствует, то остается доказать, что их 1) и 2) следуют аксиомы неотрицательности и симметричности. Как вообще это можно сделать я не представляю. Подскажите пожалуйста, в каком направлении мыслить! Как вообще такие факты доказываются? Может попробовать доказывать от противного, но тогда на какой факт опереться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 18:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
А что вы пробовали? Ну, поподставляйте вместо $x,y,z$ те же переменные, но в другом порядке. Может, вместо разных - одинаковые. Например, $z=x$ или $z=y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 18:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
1345
Пусть, например, $M=[0,1]$, а $$r(x,y)=\begin{cases}0,&x=y\\1,&x<y\\2,&x>y\end{cases}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 18:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
Geen
Возьмем $x=z=1, y = 0$. Второе неравенство приобретает вид $2\leqslant 0 +1$

Симметрия отношения доказывается легко. Неотрицательность пока не получила.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 18:30 
Аватара пользователя


06/01/15
78
provincialka
Да я технически не представлял как это сделать - не знал с чего начать. Но теперь вроде прояснилось. Аксиома симметричности получается выводится с помощью перестановок местами переменных, действительно. А аксиому неотрицательности можно, наверно, от противного доказать: Допустить противное, что метрика может быть отрицательной и взять какую-нибудь функцию, которая дает отрицательную метрику и показать, что для нее не выполняется аксиома треугольника. Получить противоречие аксиоме и все. Но переход к какой-то конкретной функции не будет ли логической ошибкой ? Странное какое-то чувство у меня. :shock: Не нужно ли показывать что для всех функций так будет ? Хотя для всех функций наверно так не будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 18:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
Bacon в сообщении #959194 писал(а):
Аксиома симметричности получается выводится с помощью перестановок местами переменных, действительно.

А вот покажите, как (для надежности). Выше в моем ответе был намек.
Bacon в сообщении #959194 писал(а):
взять какую-нибудь функцию, которая дает отрицательную метрику и показать, что для нее не выполняется аксиома треугольника.
Нет, так нельзя. Надо в общем виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 18:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
1345
provincialka в сообщении #959190 писал(а):
Возьмем $x=z=1, y = 0$. Второе неравенство приобретает вид $2\leqslant 0 +1$

Симметрия отношения доказывается легко.

Неподходящий я привёл пример. :-)

-- 09.01.2015, 19:42 --

provincialka в сообщении #959190 писал(а):
Неотрицательность пока не получила.

Пусть, например, $M=[0,1]$, а $$r(x,y)=\begin{cases}0,&x=y\\-1,&(x=1\&y=0)\vee(x=0\&y=1)\\1,&other\;cases\end{cases}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 18:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
Geen
Вы пытаетесь опровергнуть утверждение, а оно верно.
Bacon
Неотрицательность доказывается тоже легко, если взять ручку и бумагу :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 18:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
1345
provincialka в сообщении #959201 писал(а):
Вы пытаетесь опровергнуть утверждение, а оно верно.

Ну так если доказать неверность некого частного случая, может стать очевидной схема доказательства в общем случае :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 18:57 
Заслуженный участник


16/02/13
2740
Владивосток
Bacon в сообщении #959194 писал(а):
Допустить противное, что метрика может быть отрицательной и взять какую-нибудь функцию, которая дает отрицательную метрику и показать, что для нее не выполняется аксиома треугольника
Противное в данном случае — если для отрицательной функции выполняется неравенство треугольника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 19:10 
Аватара пользователя


06/01/15
78
provincialka
Ну для первой аксиомы - все понятно:
1) $ r(x,y)=0 \Leftrightarrow x =y \Leftrightarrow r(y,x)=0  $
2) $ r(x,y) \leq r(x,z) + r(y,z) $
Здесь если переставить $ (y,x)$ , то получим правую часть - проходит.
Если переставить $ (z,x),(z,y)$, то что-то выводимость из 2) не так уж и проста. Получится, что нужно доказать, что $ r(x,z) + r(y,z) \geq r(z,x) + r(z,y) $
Или я что-то не так понял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 19:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
Bacon в сообщении #959217 писал(а):
2) $ r(x,y) \leq r(x,z) + r(y,z) $
Здесь если переставить $ (y,x)$ , то получим правую часть - проходит.
И что? Нет, не так просто! Оставим пока неотрицательность. Разберемся с симметрией.
Вы пока только показали, что для $r(y,x)$ есть такая же граница, оба числа ограничены сверху одним и тем же. Ну и что? разве из этого следует, что они равны?

Думаем еще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 20:16 
Аватара пользователя


06/01/15
78
provincialka
А вот так получше будет?
$ r(x,y) \leq r(x,z) + r(y,z) $
$ r(y,x) \leq r(y,z) + r(x,z) $
Теперь если просуммировать:
$ r(x,y)+r(y,x) \leq 2(r(x,z) + r(y,z)) $
Слева получается можем ограничить по неравенству треугольника:
$ 0 \leq r(x,y)+r(y,x) \leq 2(r(x,z) + r(y,z)) $
Теперь справа по неравенству треугольника:
$ 0 \leq r(x,y)+r(y,x) \leq 2r(x,y) $
Откуда:
$ 0 \leq 2r(x,y) $
$ 0 \leq r(x,y) $
Теперь составим разность, получим:
$ r(x,y) - r(y,x) \leq 0 $
C учетом неотрицательности:
$ r(x,y) = r(y,x)  $

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 20:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
Bacon в сообщении #959246 писал(а):
Слева получается можем ограничить по неравенству треугольника:
$ 0 \leq r(x,y)+r(y,x) \leq 2(r(x,z) + r(y,z)) $

Нет, у вас в условии неравенство треугольника в другой форме: ведь симметрию же мы еще не доказали.

Проще надо, проще:
provincialka в сообщении #959182 писал(а):
Например, $z=x$ или $z=y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 20:22 
Аватара пользователя


06/01/15
78
provincialka
Так нулем я ограничиваю без симметрии по первой аксиоме. Или вы про другое?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group