2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 17:54 
Аватара пользователя
Нужно доказать, что функция $ r: M  \times M \to R $ задает метрику на $ M $, если она удовлетворяет системе аксиом:
1) $ r(x,y)=0 \Leftrightarrow x =y $
2) $ r(x,y) \leq r(x,z) + r(y,z) $
То есть по сути нужно доказать, что аксиомы метрики эквиваленты этим двум, так я понимаю. Так как аксиома треугольника здесь присутствует, то остается доказать, что их 1) и 2) следуют аксиомы неотрицательности и симметричности. Как вообще это можно сделать я не представляю. Подскажите пожалуйста, в каком направлении мыслить! Как вообще такие факты доказываются? Может попробовать доказывать от противного, но тогда на какой факт опереться?

 
 
 
 Re: Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 18:01 
Аватара пользователя
А что вы пробовали? Ну, поподставляйте вместо $x,y,z$ те же переменные, но в другом порядке. Может, вместо разных - одинаковые. Например, $z=x$ или $z=y$.

 
 
 
 Re: Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 18:12 
Аватара пользователя
Пусть, например, $M=[0,1]$, а $$r(x,y)=\begin{cases}0,&x=y\\1,&x<y\\2,&x>y\end{cases}$$

 
 
 
 Re: Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 18:26 
Аватара пользователя
Geen
Возьмем $x=z=1, y = 0$. Второе неравенство приобретает вид $2\leqslant 0 +1$

Симметрия отношения доказывается легко. Неотрицательность пока не получила.

 
 
 
 Re: Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 18:30 
Аватара пользователя
provincialka
Да я технически не представлял как это сделать - не знал с чего начать. Но теперь вроде прояснилось. Аксиома симметричности получается выводится с помощью перестановок местами переменных, действительно. А аксиому неотрицательности можно, наверно, от противного доказать: Допустить противное, что метрика может быть отрицательной и взять какую-нибудь функцию, которая дает отрицательную метрику и показать, что для нее не выполняется аксиома треугольника. Получить противоречие аксиоме и все. Но переход к какой-то конкретной функции не будет ли логической ошибкой ? Странное какое-то чувство у меня. :shock: Не нужно ли показывать что для всех функций так будет ? Хотя для всех функций наверно так не будет.

 
 
 
 Re: Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 18:34 
Аватара пользователя
Bacon в сообщении #959194 писал(а):
Аксиома симметричности получается выводится с помощью перестановок местами переменных, действительно.

А вот покажите, как (для надежности). Выше в моем ответе был намек.
Bacon в сообщении #959194 писал(а):
взять какую-нибудь функцию, которая дает отрицательную метрику и показать, что для нее не выполняется аксиома треугольника.
Нет, так нельзя. Надо в общем виде.

 
 
 
 Re: Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 18:34 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #959190 писал(а):
Возьмем $x=z=1, y = 0$. Второе неравенство приобретает вид $2\leqslant 0 +1$

Симметрия отношения доказывается легко.

Неподходящий я привёл пример. :-)

-- 09.01.2015, 19:42 --

provincialka в сообщении #959190 писал(а):
Неотрицательность пока не получила.

Пусть, например, $M=[0,1]$, а $$r(x,y)=\begin{cases}0,&x=y\\-1,&(x=1\&y=0)\vee(x=0\&y=1)\\1,&other\;cases\end{cases}$$

 
 
 
 Re: Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 18:46 
Аватара пользователя
Geen
Вы пытаетесь опровергнуть утверждение, а оно верно.
Bacon
Неотрицательность доказывается тоже легко, если взять ручку и бумагу :D

 
 
 
 Re: Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 18:53 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #959201 писал(а):
Вы пытаетесь опровергнуть утверждение, а оно верно.

Ну так если доказать неверность некого частного случая, может стать очевидной схема доказательства в общем случае :-)

 
 
 
 Re: Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 18:57 
Bacon в сообщении #959194 писал(а):
Допустить противное, что метрика может быть отрицательной и взять какую-нибудь функцию, которая дает отрицательную метрику и показать, что для нее не выполняется аксиома треугольника
Противное в данном случае — если для отрицательной функции выполняется неравенство треугольника.

 
 
 
 Re: Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 19:10 
Аватара пользователя
provincialka
Ну для первой аксиомы - все понятно:
1) $ r(x,y)=0 \Leftrightarrow x =y \Leftrightarrow r(y,x)=0  $
2) $ r(x,y) \leq r(x,z) + r(y,z) $
Здесь если переставить $ (y,x)$ , то получим правую часть - проходит.
Если переставить $ (z,x),(z,y)$, то что-то выводимость из 2) не так уж и проста. Получится, что нужно доказать, что $ r(x,z) + r(y,z) \geq r(z,x) + r(z,y) $
Или я что-то не так понял?

 
 
 
 Re: Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 19:14 
Аватара пользователя
Bacon в сообщении #959217 писал(а):
2) $ r(x,y) \leq r(x,z) + r(y,z) $
Здесь если переставить $ (y,x)$ , то получим правую часть - проходит.
И что? Нет, не так просто! Оставим пока неотрицательность. Разберемся с симметрией.
Вы пока только показали, что для $r(y,x)$ есть такая же граница, оба числа ограничены сверху одним и тем же. Ну и что? разве из этого следует, что они равны?

Думаем еще.

 
 
 
 Re: Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 20:16 
Аватара пользователя
provincialka
А вот так получше будет?
$ r(x,y) \leq r(x,z) + r(y,z) $
$ r(y,x) \leq r(y,z) + r(x,z) $
Теперь если просуммировать:
$ r(x,y)+r(y,x) \leq 2(r(x,z) + r(y,z)) $
Слева получается можем ограничить по неравенству треугольника:
$ 0 \leq r(x,y)+r(y,x) \leq 2(r(x,z) + r(y,z)) $
Теперь справа по неравенству треугольника:
$ 0 \leq r(x,y)+r(y,x) \leq 2r(x,y) $
Откуда:
$ 0 \leq 2r(x,y) $
$ 0 \leq r(x,y) $
Теперь составим разность, получим:
$ r(x,y) - r(y,x) \leq 0 $
C учетом неотрицательности:
$ r(x,y) = r(y,x)  $

 
 
 
 Re: Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 20:19 
Аватара пользователя
Bacon в сообщении #959246 писал(а):
Слева получается можем ограничить по неравенству треугольника:
$ 0 \leq r(x,y)+r(y,x) \leq 2(r(x,z) + r(y,z)) $

Нет, у вас в условии неравенство треугольника в другой форме: ведь симметрию же мы еще не доказали.

Проще надо, проще:
provincialka в сообщении #959182 писал(а):
Например, $z=x$ или $z=y$.

 
 
 
 Re: Аксиомы метрики
Сообщение09.01.2015, 20:22 
Аватара пользователя
provincialka
Так нулем я ограничиваю без симметрии по первой аксиоме. Или вы про другое?

 
 
 [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group