2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Нормальные числа. Абсолютно и не очень.
Сообщение08.01.2015, 07:05 
Аватара пользователя


21/09/12
1072
В ru.wikipedia.org/wiki/Нормальное_число приведено определение:
Цитата:
Нормальное число по основанию $n$ $(n \in \mathbb{N}, n \geqslant 2)$ — всякое действительное число, в записи которого в $n$-ричной системе счисления каждая группа из $k$ последовательных цифр встречается с одной и той же асимптотической частотой, равной $n^k$ для каждого $k = 1, 2, …$

Числа, нормальные по любому основанию $n$, называются нормальными или абсолютно нормальными.

Вот по последнему определению у меня вопрос.
Ясно, что рациональное число всегда формирует периодически повторяющуюся последовательность цифр. - И эта "периодичность" будет возникать при любом основании.
Обратно, иррациональное число периодичной повторяемости никогда не образует, - и это опять будет повторяться при любом основании.
Идём дальше.
Число, записанное в двоичной системе счисления, в восьмеричную перевести совсем просто. Заменим каждую тройку цифр из первого числа на соответствующую ей цифру во втором: $000$ на $0$, $100$ на $4$, $110$ на $6$ и т.д. - Не зря $8$ является одной из степеней числа $2$.
Перевод двоичного числа в десятичное сложнее: ни одна степень $2$ не совпадает со степенями $10$. И блоков фиксированной длины для быстрого перевода подобрать не удастся.
Но тем не менее, "перетекание" из одной системы счисления в другую будет описываться не столь сложной математикой.
Так неужели математики до сих пор не доказали интуитивно понятного факта: нормальное число нормально при любом основании?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальные числа. Абсолютно и не очень.
Сообщение08.01.2015, 09:50 
Аватара пользователя


11/08/11
897
1) Рациональное число всегда ненормально.

2) Да ладно? Тривиально? Вот есть, допустим, некое число, в записи которого в восьмеричной системе никогда не встречается число $1111$. Вот все остальные встречаются, а это никогда. Что при этом можно сказать о записи того же числа в семиричной системе? По-моему, абсолютно ничего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальные числа. Абсолютно и не очень.
Сообщение08.01.2015, 10:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5181
Москва
atlakatl в сообщении #958431 писал(а):
Так неужели математики до сих пор не доказали интуитивно понятного факта: нормальное число нормально при любом основании?


Не доказали потому, что факт этот ложен.

-- 08 янв 2015, 10:23 --

Вот такой тупой контрпример. Берём цифры 0..9, переставляем их в случайном порядке, получаем последовательность из 10 цифр, и получаем число, приписывая полученные так (разные! случайно выбранные!) последовательности бесконечно много раз. Число, очевидно, нормально по основанию 10. По другому основанию - нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальные числа. Абсолютно и не очень.
Сообщение08.01.2015, 10:34 
Аватара пользователя


21/09/12
1072
Евгений Машеров в сообщении #958455 писал(а):
Вот такой тупой контрпример. Берём цифры 0..9, переставляем их в случайном порядке, получаем последовательность из 10 цифр, и получаем число, приписывая полученные так (разные! случайно выбранные!) последовательности бесконечно много раз. Число, очевидно, нормально по основанию 10.

С какого перепугу это число нормально в десятичной системе? В нём наверняка не будут встречаться последовательности $000, 111, 222, 333, ... и т.д., - не говоря уж о более сложных комплексах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальные числа. Абсолютно и не очень.
Сообщение08.01.2015, 11:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3559
atlakatl в сообщении #958431 писал(а):
В ru.wikipedia.org/wiki/Нормальное_число приведено определение:

Очень часто при использовании Википедии бывает полезно прочитать ещё 5-7 строчек после определения. В них частенько разъясняются вопросы, которые чаще всего приходят в голову новичкам :)
А интуиция -- дело наживное. Если не упорствовать, она, как правило, быстро лечится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальные числа. Абсолютно и не очень.
Сообщение08.01.2015, 12:09 
Аватара пользователя


21/09/12
1072
grizzly в сообщении #958473 писал(а):
интуиция -- дело наживное. Если не упорствовать, она, как правило, быстро лечится.

Ждал этого тезиса. В конце сабжевой статьи пишется:
Цитата:
Существует общее мнение, что числа $ \pi $ и $ e $ нормальны. Однако даже подходы к доказательству этого не ясны.

Будем "лечить" авторов статьи?

-- 08.01.2015, 15:27 --

INGELRII в сообщении #958451 писал(а):
некое число, в записи которого в восьмеричной системе никогда не встречается число $1111$. Вот все остальные встречаются, а это никогда. Что при этом можно сказать о записи того же числа в семиричной системе? По-моему, абсолютно ничего.

Не так много, но кое-что. Оно не может начинаться на $1464_7$, - это $1111_8$. Дальше сложнее, но закономерности будут, хоть и всё сложнее. А значит на больших промежутках комплексы типа $1464_7$ будут встречаться реже прочих. - Вот и ненормальность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальные числа. Абсолютно и не очень.
Сообщение08.01.2015, 15:35 
Заслуженный участник


08/04/08
8259
atlakatl в сообщении #958482 писал(а):
В конце сабжевой статьи пишется:
Цитата:
Существует общее мнение, что числа $ \pi $ и $ e $ нормальны. Однако даже подходы к доказательству этого не ясны.

Будем "лечить" авторов статьи?
А зачем их лечить? Прааавильно: совершенно незачем...

atlakatl в сообщении #958431 писал(а):
Обратно, иррациональное число периодичной повторяемости никогда не образует, - и это опять будет повторяться при любом основании.
Возьмем число $\xi=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}10^{-(1+2+...+k)}$.
Очевидно, что оно иррационально.
Является ли оно нормальным в $10$-чной системе счисления?
Является ли оно абсолютно нормальным? (для ответа на последний вопрос предлагается воспользоваться экспериментом)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальные числа. Абсолютно и не очень.
Сообщение08.01.2015, 16:11 
Аватара пользователя


21/09/12
1072
Sonic86 в сообщении #958563 писал(а):
Является ли оно нормальным в $10$-чной системе счисления?
Является ли оно абсолютно нормальным? (для ответа на последний вопрос предлагается воспользоваться экспериментом)

Для ясности: это число $0,101001000100001000001...$
1. Оно явно не нормально в $10$-чной системе счисления, - в нём только цифры $0$ и $1$.
2. Оно явно не абсолютно нормально (см. п.1).
PS. "Пользоваться экспериментом" для проверки абсолютной нормальности числа бессмысленно: для этого надо проверить его представление для каждого (а их бесконечное число) основания на бесконечном же промежутке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальные числа. Абсолютно и не очень.
Сообщение08.01.2015, 16:19 
Заслуженный участник


08/04/08
8259
atlakatl в сообщении #958588 писал(а):
PS. "Пользоваться экспериментом" для проверки абсолютной нормальности числа бессмысленно: для этого надо проверить его представление для каждого (а их бесконечное число) основания на бесконечном же промежутке.
Ну-ну, а еще в математике нет гипотез. Гипотезу выдвинете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальные числа. Абсолютно и не очень.
Сообщение08.01.2015, 16:28 
Аватара пользователя


21/09/12
1072
Sonic86 в сообщении #958591 писал(а):
Гипотезу выдвинете.

Да я её и выдвинул:
atlakatl в сообщении #958431 писал(а):
математики до сих пор не доказали интуитивно понятного факта: нормальное число нормально при любом основании

В результате огрёб от grizzly:
grizzly в сообщении #958473 писал(а):
интуиция -- дело наживное. Если не упорствовать, она, как правило, быстро лечится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальные числа. Абсолютно и не очень.
Сообщение08.01.2015, 16:41 
Заслуженный участник


08/04/08
8259
atlakatl в сообщении #958595 писал(а):
Sonic86 в сообщении #958591 писал(а):
Гипотезу выдвинете.

Да я её и выдвинул:
atlakatl в сообщении #958431 писал(а):
математики до сих пор не доказали интуитивно понятного факта: нормальное число нормально при любом основании

В результате огрёб от grizzly:
grizzly в сообщении #958473 писал(а):
интуиция -- дело наживное. Если не упорствовать, она, как правило, быстро лечится.
Ищите ошибку в своем рассуждении: какая связь между интуицией и эмпирической проверкой?
Кроме того, Вы сформулировали скорее всего неверную гипотезу, потенциальный контрпример - число $\xi$.
Кроме того, я просил Вас выдвинуть гипотезу нормальности или нет числа $\xi$ по основанию $3$, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальные числа. Абсолютно и не очень.
Сообщение08.01.2015, 16:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3559
atlakatl
Попрошу! Я Вам аргументацию привел (:
grizzly в сообщении #958473 писал(а):
при использовании Википедии бывает полезно прочитать ещё 5-7 строчек после определения.

Там описаны реальные трудности вопроса с конкретным примером.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальные числа. Абсолютно и не очень.
Сообщение08.01.2015, 17:46 
Аватара пользователя


21/09/12
1072
Sonic86 в сообщении #958604 писал(а):
какая связь между интуицией и эмпирической проверкой?

Часто прямая: наблюдение формирует или отвергает интуитивную гипотезу, а гипотеза мотивирует субъекта на опыты.
Sonic86 в сообщении #958604 писал(а):
я просил Вас выдвинуть гипотезу нормальности или нет числа $\xi$ по основанию $3$, например.

Попробовал на калькуляторе http://planetcalc.ru/375/ перевести целое число (а какая разница?) $101001000100001000001000000100000001000000001$ на основания $3, 5, 7, 11$. Никакой упорядоченности для этих представлений не наблюдается.
Да, моё предположение
atlakatl в сообщении #958431 писал(а):
нормальное число нормально при любом основании
эмпирически не подтверждается. Если 10-ичное $\xi$ точно не нормально, то на этих основаниях ненормальности не наблюдается.
grizzly в сообщении #958606 писал(а):
atlakatl
Попрошу!

Я Вас чем-то обидел? Как?
grizzly в сообщении #958606 писал(а):
Там описаны реальные трудности вопроса с конкретным примером.

Так о том и пост: интуитивно вроде бы нормальность всегда абсолютна, а "реальные трудности" существуют.
Впрочем, аргументация Sonic86 меня убедила. Ответ я получил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальные числа. Абсолютно и не очень.
Сообщение08.01.2015, 17:57 
Аватара пользователя


11/08/11
897
atlakatl
То, что оно не может начинаться на $1464$, никак не означает, что впоследствии эта последовательность будет встречаться реже прочих. Можно, наоборот, подобрать число так, что она будет встречаться гораздо чаще остальных.

(Оффтоп)

Например, если взять обычную монету и подбросить ее. Пусть первым выпал орел. По вашей логике, это значит, что впредь решка будет выпадать реже орла?


Вы просто попробуйте в явном виде формализовать те закономерности, которые вам так ясны интуитивно. Мне вот не ясны, мне даже интуитивно ясно, что нет там никаких закономерностей! Ну просветите меня глупого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальные числа. Абсолютно и не очень.
Сообщение08.01.2015, 18:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3559

(Оффтоп)

atlakatl в сообщении #958648 писал(а):
Я Вас чем-то обидел?

Смайлик не заметили? (: или не расшифровали? :)

atlakatl в сообщении #958648 писал(а):
интуитивно вроде бы нормальность всегда абсолютна

Безо всякой интуиции понятно, что ненормальность по любому основанию имеет меру 0. От того и понятно интуитивно, что объединение по всем основанием ненормальных имеет ту же меру. Больше интуиция ничего толкового здесь никому не скажет без глубокого погружения в вопрос.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group