2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Призма, отношение радиусов шаров.
Сообщение11.12.2014, 23:09 


22/11/11
380
Изображение

В прямой четырехугольной призме в основании лежит ромб $ABCD$.
Точки $I,J,K$ -- середины сторон $AE,AD,AB$ соответственно.
Найдите отношение радиусов шаров вписанных в желто-зеленый ($r$) и сине-желтый многогранники ($R$).

Пока что понимаю, центры этих шаров лежат на диагонали $AG$, потому как желтая плоскость является касательной плоскостью в точке касания шаров и из соображений симметрии.

Есть еще идея через подобие. Объем желто-зеленого многогранника в $V_0$ в $32$ раза меньше, чем объем всей призмы $V$, то есть $V=32V_0$

Тогда можно составить отношение $\dfrac{V}{V_0}=\left(\dfrac{R}{r}\right)^3=32$

Верно ли про отношение объемов, что оно $32$, а про это $\dfrac{V}{V_0}=\left(\dfrac{R}{r}\right)^3$?

Значит отношение радиусов равно $\sqrt[3]{32}$. Верно ли это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Призма, отношение радиусов шаров.
Сообщение12.12.2014, 01:04 


10/09/14
99
Так нужно было и шары изобразить :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Призма, отношение радиусов шаров.
Сообщение12.12.2014, 01:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
Andrei94 в сообщении #944581 писал(а):
Объем желто-зеленого многогранника в $V_0$ в $32$ раза меньше, чем объем всей призмы $V$, то есть $V=32V_0$
Нет, ведь желто-зеленый - не призма, а пирамида! Его объем равен $\frac13$ площади основания на высоту.

-- 12.12.2014, 01:27 --

Andrei94 в сообщении #944581 писал(а):
Тогда можно составить отношение $\dfrac{V}{V_0}=\left(\dfrac{R}{r}\right)^3=32$
Почему? Ведь многогранники не подобны.

-- 12.12.2014, 01:29 --

Надо разобраться с такой проблемой. Шар, вписанный в призму, будет касаться всех ее граней. Будет ли то же верно для "синего" многогранника?

 Профиль  
                  
 
 Re: Призма, отношение радиусов шаров.
Сообщение12.12.2014, 08:13 


22/11/11
380
provincialka в сообщении #944667 писал(а):
Andrei94 в сообщении #944581 писал(а):
Объем желто-зеленого многогранника в $V_0$ в $32$ раза меньше, чем объем всей призмы $V$, то есть $V=32V_0$
Нет, ведь желто-зеленый - не призма, а пирамида! Его объем равен $\frac13$ площади основания на высоту.
Пирамида $AIKJ$ (зеленая) подобна пирамиде $AEBD$ с коэфициентом подобия $2$. Разве не так?
А таких пирамид влезает во всю синию призму 4 штуки. Разве не так?

-- 12.12.2014, 08:15 --

provincialka в сообщении #944667 писал(а):

Надо разобраться с такой проблемой. Шар, вписанный в призму, будет касаться всех ее граней. Будет ли то же верно для "синего" многогранника?


Мне кажется, что плоскость $IKJ$ может помешать вписать в синей многогранник, потому как может не всех граней коснуться. С другой стороны, может при каком-то угле ромба это выйдет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Призма, отношение радиусов шаров.
Сообщение12.12.2014, 09:37 


13/08/14
349
Диаметр большого вписанного шара есть минимум расстояний между парами параллельных плоскостей. При этом кроме граней призмы следует рассмотреть пару плоскостей, одна из которых $IJK$, а другая $-$ центральносимметричная ей плоскость (относительно центра призмы).

-- 12.12.2014, 09:41 --

Andrei94 в сообщении #944581 писал(а):
Пока что понимаю, центры этих шаров лежат на диагонали $AG$, потому как желтая плоскость является касательной плоскостью в точке касания шаров и из соображений симметрии.

Для этого $AG$ должна быть перпендикулярна $IJK$, что вряд ли верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Призма, отношение радиусов шаров.
Сообщение12.12.2014, 10:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
Andrei94 в сообщении #944750 писал(а):
А таких пирамид влезает во всю синию призму 4 штуки. Разве не так?
С чего вы взяли? Объем пирамиды (конуса) равен $1/3$ объема призмы с таким же основанием и высотой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Призма, отношение радиусов шаров.
Сообщение12.12.2014, 11:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4589
Нов-ск
У ромба со стороной $2$ угол равен $60$ градусов. Высота призмы равна $\sqrt3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Призма, отношение радиусов шаров.
Сообщение12.12.2014, 12:28 


23/01/07
3150
Новосибирск
Andrei94 в сообщении #944581 писал(а):
Есть еще идея через подобие.

Идея хорошая, но направление выбрано не правильно. Через объемы разнородных тел найти отношение радиусов вряд ли возможно. Попробуйте достроить одно из тел до подобного второму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Призма, отношение радиусов шаров.
Сообщение12.12.2014, 12:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12765
Может быть попробовать использовать площади поверхности тел? Ведь если в многогранники вписаны шары, то отношение их радиусов можно представить в виде произведения двух отношений даже без всякого подобия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Призма, отношение радиусов шаров.
Сообщение12.12.2014, 16:36 


01/12/11
983
Сначала нужно найти размеры призмы, в которую можно вписать шар. Затем убедится, что вписанный шар касается секущей плоскости.
Мне не удалось вписать шар в сине-желтый многогранник ($R$). Получается, что в таком виде задача не имеет решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Призма, отношение радиусов шаров.
Сообщение12.12.2014, 16:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
gris в сообщении #944867 писал(а):
Может быть попробовать использовать площади поверхности тел? Ведь если в многогранники вписаны шары, то отношение их радиусов можно представить в виде произведения двух отношений даже без всякого подобия.

provincialka в сообщении #944667 писал(а):
Надо разобраться с такой проблемой. Шар, вписанный в призму, будет касаться всех ее граней. Будет ли то же верно для "синего" многогранника?

 Профиль  
                  
 
 Re: Призма, отношение радиусов шаров.
Сообщение12.12.2014, 17:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12765
Я так и не понял, во что вписан больший шар. Ибо если в призму, то задача тривиальна. А если в разность призмы и пирамиды, то нужно ещё посмотреть на его существование. А если шар существует, то он же и в призму будет вписан заодно. Что если рассмотреть сечение $AEGC$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Призма, отношение радиусов шаров.
Сообщение12.12.2014, 17:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
Кстати, gris, в задаче не указаны углы ромба, лежащего в основании. Может, имеется в виду, что он подобран так, чтобы синий многогранник получился описанным? Тогда задача решается действительно, легко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Призма, отношение радиусов шаров.
Сообщение12.12.2014, 17:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12765
Ну если взять куб, который удовлетворяет условиям, то косая плоскость будет пересекать шар. Но если ромбить основание, то по соображениям непрерывности будет существовать касание. Можно и без объёмов обойтись. Так ведь TOTAL же озвучил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Призма, отношение радиусов шаров.
Сообщение12.12.2014, 21:40 


23/01/07
3150
Новосибирск
Пропорции и углы сторон тел, которые удовлетворяют условиям задачи, уже озвучил TOTAL. Но искать их совсем необязательно - надо принять то, что сферы вписываются, как за данное.

Если пройти по варианту, который я ранее предложил, то решение задачи будет совсем не сложным.
Допустим большее тело достраиваем до подобного малому. Для этого в сечении $ACGE$ проводим след сечения $IJK$ и продлеваем этот след до пересечения с $EG$ и $CG$. Получили треугольник, который является сечением большой пирамиды плоскостью $ACGE$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group