2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Несложный анализ вывода преобразований Лоренца
Сообщение11.12.2014, 21:47 
Заслуженный участник


29/11/11
4390
Поскольку вы обнаружили именно математическую ошибку при выводе преобразований Лоренца, то давайте рассмотрим именно абстрактную математическую задачу. Я постарался перевести ее решение на язык, в котором вообще ничего кроме математики начальных классов нет, никаких гиперболических синусов, просто сложения и умножения. На самом деле в учебниках гораздо короче и проще, но я постарался учесть вообще все что только может вызвать какие то вопросы.

Математическая задача - построить преобразование пары переменных $(a,b)$ в пару переменных $(c,d)$ с единственным параметром преобразования $e$. то есть найти две функции

$c = f(a,b,e)$
$d = g(a,b,e)$

естественно таких функций бесконечное множество, но у нас есть и некоторые дополнительные требования к ним

1. преобразования линейны. при фиксированном параметре $e$ линейные изменения $a$ и $b$ должны приводить к линейным же изменениям $c$ и $d$.

$f(a,b,e) = k_1(e) a + k_2(e) b + k_5(e)$
$g(a,b,e)= k_3(e) a + k_4(e) b + k_6(e)$

2. пара нолей должна преобразовываться в пару нолей

$f(a,b,e) = k_1(e) a + k_2(e) b$
$g(a,b,e)= k_3(e) a + k_4(e) b$

3. из пар связанных соотношениями $a = b$ и $a = -b$ должны обязательно получаться пары $c = d$ и $c = -d$ соответственно (вот собственно в этом пункте вы и нашли "ошибку")

$(c = k_1(e) a + k_2(e) a) = (d = k_3(e) a + k_4(e) a)$
$(c = k_1(e) a - k_2(e) a) = -(d = k_3(e) a - k_4(e) a)$

откуда $k_1(e) = k_4(e)$ и $k_2(e) = k_3(e)$

$f(a,b,e) = k_1(e) a + k_2(e) b$
$g(a,b,e)= k_2(e) a + k_1(e) b$

4. из пар связанных соотношением $a = e b$ должно обязательно получаться $c = 0$.

$c = 0 = f(e b, b, e) = k_1(e) e b + k_2(e) b \Rightarrow k_2(e) = - e k_1(e)$

$f(a,b,e) = k(e) (a - e b)$
$g(a,b,e) = k(e)(b - e a)$

5. преобразования должны быть обратимы при смене знака параметра $e$

$a = f(c,d,-e)$
$b = g(c,d,-e)$

преобразуем $a,b$ в $c,d$ и сразу же обратно в $a$

$a = f(c,d,-e) = f(f(a,b,e),g(a,b,e),-e) = k(-e)k(e)(a - e b + e(b - ea))$
$k(-e)k(e) = \frac{1}{1 - e^2}$

6. если для пары $(1,0)$ прямыми преобразованиями получается некоторое $c$, то для зеркальной пары $(-1,0)$ обратные преобразования должны давать зеркальное $a = -c$

$c = k(e)(1 - e\cdot 0) = k(e)$
$a = k(-e)(-1 + e\cdot 0) = -k(-e) = -c = -k(e)$
$k(e) = k(-e)$

итого

$k(e)k(-e) = k(e)^2 = \frac{1}{1 - e^2}$
$k(e) = \frac{1}{\sqrt{1-e^2}}$

$c = f(a,b,e) = \frac{a - e b}{\sqrt{1-e^2}}$
$d = g(a,b,e) = \frac{b - e a}{\sqrt{1-e^2}}$

с учетом того какие именно физические параметры имелись в виду при формировании математических условий задачи $(a,b,c,d,e) = (x, c t, x', c t', v/c)$

$x' = \frac{x - \frac{v}{c} c t}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$
$c t' = \frac{c t - \frac{v}{c} x}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложный анализ вывода преобразований Лоренца
Сообщение12.12.2014, 14:29 
Аватара пользователя


15/09/14

335
Борисоглебск Воронежской обл
rustot в сообщении #944523 писал(а):
4. из пар связанных соотношением $a = e b$ должно обязательно получаться $c = 0$.

Благодарю вас за прекрасное математическое изложение ваших преобразований. Но на мой взгляд в пункте 4 имеется нестыковка. Очевидно этот пункт следует читать"из пар связанных соотношением $x=vt$ должно обязательно получаться $x'=0$". То есть если $x=vt$ то $x'=0$. И ранее было введено условие если $x=ct$ то $x'=ct'$. Это означает: пока вторая система движется относительно первой со скоростью $v$ координата $x'$ во второй системе все время остается равной нулю. А когда скорость второй системы достигает значения $c$, то координата $x'$ мгновенно начинает изменяться с огромной скоростью по закону $x'=ct'$. Это трудно объяснить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложный анализ вывода преобразований Лоренца
Сообщение12.12.2014, 14:33 
Заслуженный участник


04/03/09
912
IGOR1 в сообщении #944896 писал(а):
А когда скорость второй системы достигает значения $c$, то координата $x'$ мгновенно начинает изменяться с огромной скоростью по закону $x'=ct'$. Это трудно объяснить.

Сдается мне, вы запутались в скоростях. Скорость движения второй системы относительно первой фиксированна и не меняется. Тем более, она никак не может стать $c$. Меняется скорость движения некоего тела в каждой из систем отсчета. Использованы три варианта скорости: $-c,\,\,c,\,\,v$. Каждый из них дает некое ограничение на преобразования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложный анализ вывода преобразований Лоренца
Сообщение12.12.2014, 14:45 
Аватара пользователя


15/09/14

335
Борисоглебск Воронежской обл
12d3 в сообщении #944900 писал(а):
Скорость движения второй системы относительно первой фиксированна и не меняется. Тем более, она никак не может стать $c$.

Но было же введено условие: если $x=ct$ то $x'=ct'$. Тогда очевидно надо отказаться от этого условия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложный анализ вывода преобразований Лоренца
Сообщение12.12.2014, 15:01 
Заслуженный участник


29/11/11
4390
IGOR1 в сообщении #944896 писал(а):
Благодарю вас за прекрасное математическое изложение ваших преобразований. Но на мой взгляд в пункте 4 имеется нестыковка. Очевидно этот пункт следует читать"из пар связанных соотношением $x=vt$ должно обязательно получаться $x'=0$". То есть если $x=vt$ то $x'=0$.


это не мои преобразования, это из учебника, но максимально разбавленные подробностями, чтобы уж совсем не было никаких недосказанностей, все "очевидно что" я для вас расписал в длинный текст, в предположении что вы соответствующих глав учебника не читали и для вас это не очевидно.

вы бы сначала сказали математика верна или нет, МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ошибки есть или нет? а правильно или неправильно сформулировано "дано" к этой математической задаче, правильно ли физические параметры были переложены на математический язык - это вопрос отдельный и независимый к которому стоит переходить только после того как вы убедитесь что МАТЕМАТИЧЕСКИХ ошибок нет

да, пункт 4 это математическая формулировка физического условия "одна система отсчета относительно другой движется со скоростью $v$", точнее одного частного случая их этого условия, что начало координат одной системы отсчета в другой перемещается по закону $x = v t$, потому-что в нулевой момент времени начала координат совпадают (условие 2)

IGOR1 в сообщении #944896 писал(а):
А когда скорость второй системы достигает значения $c$, т


вот математика и показала что при таких "дано" в задаче, решений для $e^2 \ge 1$ она не имеет, то есть для заданных условий не может физически существовать исо, двигающихся друг относительно друга со скоростью $|v| \ge |c|$. в сто именно так и утверждается, любая исо относительно любой исо движется со скоростью меньшей по модулю чем $c$

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложный анализ вывода преобразований Лоренца
Сообщение12.12.2014, 15:02 
Заслуженный участник


04/03/09
912
IGOR1 в сообщении #944910 писал(а):
Но было же введено условие: если $x=ct$ то $x'=ct'$. Тогда очевидно надо отказаться от этого условия.

Скажите, как вы поняли, что такое в данном случае $c$? Скорость чего?

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложный анализ вывода преобразований Лоренца
Сообщение12.12.2014, 17:25 
Аватара пользователя


15/09/14

335
Борисоглебск Воронежской обл
rustot в сообщении #944918 писал(а):
вот математика и показала что при таких "дано" в задаче, решений для $e^2 \ge 1$ она не имеет,

Но мы как раз в начале задачи исходили из условия что если $x=ct$ то $x'=ct'$, и на этом условии строили наши последующие рассуждения. А в конце задачи (когда задача уже решена) пришли к выводу, что это условие не может выполняться. Можно ли в этом случае считать задачу решенной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложный анализ вывода преобразований Лоренца
Сообщение12.12.2014, 17:27 
Заслуженный участник


29/11/11
4390
IGOR1 в сообщении #944990 писал(а):
Но мы как раз в начале задачи исходили из условия что если $x=ct$ то $x'=ct'$, и на этом условии строили наши последующие рассуждения. А в конце задачи (когда задача уже решена) пришли к выводу, что это условие не может выполняться. Можно ли в этом случае считать задачу решенной?


мы может исходить и из $a = 100 b$ и из $a = b^2$ и это нормально преобразуется, это же просто соотношение между координатами точки на плоскости. только на параметр преобразования $e$ наложено в полученном решении ограничение $e^2<1$, а на пары $a,b$ или $c,d$ - никаких ограничений. когда мы ставили условия мы не знали что $e$ окажется ограниченным, а в результате решения узнали, это один из результатов полученных при решении задачи

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложный анализ вывода преобразований Лоренца
Сообщение12.12.2014, 17:29 
Заслуженный участник


04/03/09
912
IGOR1 в сообщении #944990 писал(а):
Можно ли в этом случае считать задачу решенной?

Естественно. Мы определили, при каких значениях входных параметров решение есть, при каких - нет. В тех случаях, когда есть, мы явно нашли решение. Задача решена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложный анализ вывода преобразований Лоренца
Сообщение12.12.2014, 17:31 
Аватара пользователя


15/09/14

335
Борисоглебск Воронежской обл
12d3 в сообщении #944919 писал(а):
Скажите, как вы поняли, что такое в данном случае $c$? Скорость чего?

В данном случае (исходя из логики Лоренца) $c$ можно понимать как скорость второй системы относительно первой. Но в начале задачи это входило в условие: если наблюдатель в первой системе измерит скорость света $c$, то и наблюдатель во второй системе получит такое же значение скорости света. То есть довольно серьезная нестыковка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложный анализ вывода преобразований Лоренца
Сообщение12.12.2014, 17:33 
Заслуженный участник


29/11/11
4390
где вы видите математическую нестыковку? математическая нестыковка если вы получили в процессе решения противоречащие сами себе выражения типа $a = a + 1$.

вы по прежнему не пытаетесь найти математическую ошибку а рассуждаете отвлеченно кто о чем думал когда о чем то говорил и какую логику применял. кто о чем думал не имеет никакого отношения к математике. где вы в сформулированных условиях видите что "$e$ можно понимать как $a/b$"? нет там ничего похожего, $e$ - совершенно самостоятельный параметр, пятый, а не какая то функция от первых четырех

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложный анализ вывода преобразований Лоренца
Сообщение12.12.2014, 17:35 
Заслуженный участник


04/03/09
912
IGOR1 в сообщении #944997 писал(а):
В данном случае (исходя из логики Лоренца) $c$ можно понимать как скорость второй системы относительно первой.

Неверно. Мы берем две системы отсчета, которые движутся заданным образом, а потом двигаем в них разные объекты и смотрим, как они себя ведут. Например, можно запустить свет в одной системе отсчета в положительном направлении, можно в отрицательном, можно придать некоему телу такую скорость, чтоб во второй СО он покоился. В данном случае скорость $c$ - это скорость именно такого пробного объекта, а не скорость движения одной СО относительно другой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложный анализ вывода преобразований Лоренца
Сообщение12.12.2014, 17:37 
Аватара пользователя


15/09/14

335
Борисоглебск Воронежской обл
rustot в сообщении #944993 писал(а):
мы может исходить и из $a = 100 b$ и из $a = b^2$ и это нормально преобразуется,

Но в этом случае необходимо исходить из условия если $x=At$ то $x'=Bt'$ где $A$ и $B$ произвольные постоянные. Тогда получится совсем другое решение задачи

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложный анализ вывода преобразований Лоренца
Сообщение12.12.2014, 17:39 
Заслуженный участник


29/11/11
4390
для всех пар $a,b$ одно и то же решение. где вы видите в полученном результате какие то особые связки $a,b$? для ЛЮБОЙ пары получено преобразование. хоть для $10,20$, хоть для $1000000000000000,0$. вы не можете $a=1000000000000000,b=0$ записать в виде $a = k b$ а решение все равно есть

были наложены какие то ограничения на то как должны преобразовываться отдельные пары значений. допустим (0,0) должно обязательно преобразоваться в (0,0). а (10,10) должно обязательно преобразоваться в (k,k) с неизвестным k, а в (k,k-1) не должно. вот после того как несколько таких ограничений было оговорено, были получены однозначные преобразования для ВСЕХ пар величин, для которых вообще никаких условий не ставилось

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложный анализ вывода преобразований Лоренца
Сообщение12.12.2014, 17:44 
Аватара пользователя


15/09/14

335
Борисоглебск Воронежской обл
rustot в сообщении #944999 писал(а):
вы по прежнему не пытаетесь найти математическую ошибку а рассуждаете отвлеченно кто о чем думал

В приведенном вами выводе преобразований я не вижу математической ошибки. Но если попытаться применить полученную математическую модель для описания реального движения, то возникают некоторые трудности

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 113 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group