2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение10.12.2014, 02:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
А все таки: куда делись $f(n)$ и $g(n)$ из исходной задачи:
dikiy в сообщении #942757 писал(а):
Для собственного состояния $|n\rangle$ квантового осциллятора, и его операторов уничтожения и рождения верно следующее:

$$a|n\rangle = f(n)|n+1\rangle,\ a^+|n \rangle = g(n)| n-1 \rangle$$

Если бы сразу было сказано, что они "стандартные", (ну, конечно $a$ и $a^+$ перепутаны), то ни у кого никаких вопросов бы и не было. А при
$$a^+|n\rangle = f(n)|n+1\rangle,\ a|n \rangle = g(n)| n-1 \rangle$$
у нас будут другие значения и для произведений и коммутатора и область $n$ может быть отличной от "луча".


На самом деле сопряженность $a$ и $a^+$ и коммутационное соотношение $[a,a^+]=1$ даёт нам очень мало произвола. Но отказ от одного из них ...

 Профиль  
                  
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение10.12.2014, 04:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Не могу удержаться. В "авторской постановке" без конкретизации $f(n)$ и $g(n)$ задачка, как мне кажется, не решается. Пусть все размерные константы - единицы, и $n$ нумерует уровни энергии снизу вверх (в условии этого нет, но упростим себе задачу). Тогда должно выполняться функциональное уравнение $$n+\frac{1}{2}=\varphi(f(n)g(n+1)+f(n-1)g(n))$$ на функцию $\varphi(x)$ с условием $\frac{1}{2}=\varphi(f(0)g(1))$. Без конкретизации вида $f(n)$ и $g(n)$ непонятно, что с этим делать. (Для стандартного определения повышающего и понижающего операторов мгновенно имеем $\varphi(x)=x/2$).

 Профиль  
                  
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение10.12.2014, 04:35 


15/04/12
175
amon в сообщении #943463 писал(а):
Не могу удержаться. В "авторской постановке" без конкретизации $f(n)$ и $g(n)$ задачка, как мне кажется, не решается. Пусть все размерные константы - единицы, и $n$ нумерует уровни энергии снизу вверх (в условии этого нет, но упростим себе задачу). Тогда должно выполняться функциональное уравнение $$n+\frac{1}{2}=\varphi(f(n)g(n+1)+f(n-1)g(n))$$ на функцию $\varphi(x)$ с условием $\frac{1}{2}=\varphi(f(0)g(1))$. Без конкретизации вида $f(n)$ и $g(n)$ непонятно, что с этим делать. (Для стандартного определения повышающего и понижающего операторов мгновенно имеем $\varphi(x)=x/2$).

там в задаче другим пунктом шло: определите $f(n),g(n)$, при условии, что все собственные состояния $|n \rangle$ нормированы. Ну и до кучи там перед этим просили показать, что $[a^+,a]=1$ при условии, что $[p,x]=-i\hbar.$ А используя это можно найти $f(n)$ и $g(n)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение10.12.2014, 04:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
dikiy в сообщении #943465 писал(а):
там в задаче другим пунктом шло


Так почему Вы не привели этого пункта?

 Профиль  
                  
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение10.12.2014, 04:44 


15/04/12
175
Red_Herring в сообщении #943466 писал(а):
dikiy в сообщении #943465 писал(а):
там в задаче другим пунктом шло


Так почему Вы не привели этого пункта?

потому что если бы я решил первый пункт, то и со вторым бы автоматом разобрался б. Затык был именно в самом начале задачи у меня.

 Профиль  
                  
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение10.12.2014, 05:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
dikiy в сообщении #943467 писал(а):
потому что если бы я решил первый пункт, то и со вторым бы автоматом разобрался б. Затык был именно в самом начале задачи у меня.


Так вот бы и решали сами. А если просите помощи, то приводите условие полностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение10.12.2014, 10:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Red_Herring в сообщении #943426 писал(а):
у нас будут другие значения и для произведений и коммутатора и область $n$ может быть отличной от "луча".

Я так понял (исходную постановку задачи, "рассыпавшуюся", что тот факт, что область $n$ есть "луч", следует из слова "осциллятор". И оттуда же - что $n$ нумерует уровни снизу вверх. В общем, что $n$ имеет стандартный смысл квантового числа $n.$
    Есть же стандартные смыслы у букв $n,l,m,s$; $s,p,d,f$; $S,T$; $S,V,T,A,P$...

dikiy в сообщении #943467 писал(а):
потому что если бы я решил первый пункт, то и со вторым бы автоматом разобрался б.

Задачу всё-таки надо приводить целиком в том виде, в котором она вам дана. А если вы приводите какие-то обрывки, или ещё хуже, собственные интерпретации, то задача чёткая и ясная часто становится нерешаемой или бессмысленной.

 Профиль  
                  
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение10.12.2014, 12:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Munin в сообщении #943528 писал(а):
В общем, что $n$ имеет стандартный смысл квантового числа $n.$
Есть же стандартные смыслы у букв


Но когда в исходной постановке появляются мистические $f$, $g$ вместо тех, что надо, да ещё $a$ и $a^+$ меняются местами, нужно быть очень твёрдым в вере, чтобы не дать лукавому себя запутать :D

 Профиль  
                  
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение10.12.2014, 19:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Red_Herring в сообщении #943589 писал(а):
Но когда в исходной постановке появляются мистические $f$, $g$ вместо тех, что надо

Ну а возьмите негармонический осциллятор. Там тоже будут мистические $f,g$ (честно говоря, даже не знаю их выражение; может, стоит кубический осциллятор почитать, вот только где...).

 Профиль  
                  
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение10.12.2014, 19:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Если мы хотим чтобы $q=\frac{1}{\sqrt{2}}(a+a^+)$ и $p=\frac{1}{\sqrt{2}i}(a-a^+)$ были самосопряженными (неограниченными) операторами в Гильбертовом пространстве $H$, удовлетворяющими в правильно понимаемом смысле (потому как это неограниченные операторы и ограниченными они быть принципиально не могут!) $[p,q]=-i $ (множитель $\hbar $ несущественен), то как установил Г.Вейль в 1927 они с точностью до изоморфизма равны $-i\partial_x$ и $x$ соответственно в $L^2(\mathbb{R})\otimes K$. где $K$— какое-то другое Г.пр-во. Тогда $a=\frac{1}{\sqrt{2}}(p+iq)= \frac{1}{\sqrt{2}} (x+\partial_x)$,
$a=\frac{1}{\sqrt{2}}(-pi+q)= \frac{1}{\sqrt{2}} (x-\partial_x)$ и действуют как положено операторам уничтожения/рождения с $|n\rangle$$n$–той эрмитовой функцией.

Т.е. самосопряженность плюс стандартные коммутационные соотношения влекут что $(a^+a+aa^+)= -\partial_x^2+x^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение10.12.2014, 21:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Чисто эстетическое замечание: $\frac{1}{\sqrt{2}i}$ весьма плохо читается (приходится разглядывать кончик черты радикала), лучше это писать как $\frac{1}{i\sqrt{2}}$ или вообще $\frac{-i}{\sqrt{2}}$ (как часто делают в физике).


Red_Herring в сообщении #943831 писал(а):
Т.е. самосопряженность плюс стандартные коммутационные соотношения влекут что $(a^+a+aa^+)= -\partial_x^2+x^2$.

Не просто самосопряжённость, а самосопряжённость именно $\begin{smallmatrix}1\\i\end{smallmatrix}(a\pm a^+).$ А если мы наложим условие самосопряжённости на какую-то другую функцию $a,a^+$? Вот тут-то и полезет негармоничность.

 Профиль  
                  
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение10.12.2014, 21:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Во-первых, предлагаю вынести dikiy благодарность с каким-нибудь занесением, - не каждому удается так переврать условия задачи, что бы получилась заготовка для куда более интересной задачи.

Во-вторых, слегка прокомментирую себя, любимого, с функционапьным уравнением. Критика всячески приветствуется, поскольку хочу из этого сделать задачку. Итак, гамильтониан и $aa^+$, а так же $a^+a$, имеют одинаковый полный набор собственных функций. Из двух последних можно собрать эрмитов оператор $aa^+ + a^+a$. Тогда гамильтониан будет функцией $\hat{H}=\varphi(aa^+ + a^+a)$, откуда после действия на $|n\rangle$ и получится $$n+\frac{1}{2}=\varphi(f(n)g(n+1)+f(n-1)g(n)).$$ Возражения есть?

 Профиль  
                  
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение10.12.2014, 22:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Munin в сообщении #943911 писал(а):
самосопряжённость именно $\begin{smallmatrix}1\\i\end{smallmatrix}(a\pm a^+).$

Нет: $a+a^+$ и $i(a-a^+)$.

amon в сообщении #943941 писал(а):
эрмитов оператор

Математики обычно считают, что эрмитов = ограниченный и симметричный. А если говорить о неограниченных операторах с областью $\mathfrak{D}(A)\subset H$, то симметричный это такой, что $A\subset A^*$ (т.е. $(Au,v)=(u,Av)$ для всех $u,v\in \mathfrak{D}(A)$ , а вот самосопряженный $A= A^*$. Проверка самосопряженности может быть очень сложным делом. Только для них. а не просто симметрических, есть эволюция, спектральное разложение, функция от оператора.

И не всякий симметрический оператор $B$ имеет самосопряженное расширение $A$: $B\subset A=A*\subset B^*$ (см преобразование Кэли, индексы дефекта).

И тут проблемка: если мы не знаем что $f(n)=g(n+1)$, то $a^+$ не будет сопряженным к $a$ и $a^+a+aa^+$ не будет обязательно самосопряженным (но для конкретных $a$ и $a^+$ из перевранной задачи будет).

 Профиль  
                  
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение11.12.2014, 00:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Спасибо, Red_Herring.
Red_Herring в сообщении #944010 писал(а):
Математики обычно считают, что эрмитов = ограниченный и симметричный.
А физики стараются об этом не думать, что бы не расстраиваться. То, что сопряженность $a$ и $a^+$ накладывает условие на $f$ и $g$ я прощелкал. А если обнаглеть окончательно, и считать эти функции комплексными, то условия $f^*(n)=g(n+1)$ достаточно для самосопряженности $a^+a+aa^+$?

 Профиль  
                  
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение11.12.2014, 01:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
amon в сообщении #944077 писал(а):
А если обнаглеть окончательно, и считать эти функции комплексными, то условия $f^*(n)=g(n+1)$ достаточно для самосопряженности $a^+a+aa^+$?


Ну, конечно: это как раз условие $a^+$ сопряжен к $a$. Но это ничего не добавляет в том смысле, что если мы заменим $f(n)\to |f(n)|$, $g(n)\to |g(n)|$ то это просто эквивалентно унитарному преобразованию основного пространства.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 71 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group