2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Параметры
Сообщение08.12.2014, 12:19 


22/11/11
380
1) Найдите все числа $c$ и $d$, для которых наибольшее значение функции

$y=\left|4\cdot \dfrac{3^x+3^{-x}-2}{3^x+3^{-x}+2}+2(c+2d)\cdot \dfrac{3^x-1}{3^x+1}+2c+d\right|$

на отрезке $[-1;1]$ является наименьшим.

Была такая идея, выделить целые части в дробях:

$y=\left|4\cdot \left(1-\dfrac{4}{3^x+3^{-x}+2}\right)+2(c+2d)\cdot \left(1- \dfrac{2}{3^x+1}\right)+2c+d\right|$

Попробуем найти наибольшее значение функции. Для этого нужно вычитаемые дроби $\dfrac{4}{3^x+3^{-x}+2}$ и $\dfrac{2}{3^x+1}$ минимизировать. Чтобы значения этих дробей было минимально, нужно устремить $x$ к бесконечности. В пределе, получим:

$\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{4}{3^x+3^{-x}+2}=0$ и $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{2}{3^x+1}=0$, тогда:

$\lim\limits_{x\to +\infty}y=|4+2(c+2d)+2c+d|$

В правильном ли направлении думаю?

2) Найти все пары $(a,b)$, для которых система

$\left\{\begin{matrix}
x^2-y^2+a(x+y)=x-y+a\\ 
x^2+y^2+bxy-1=0

\end{matrix}\right.$

имеет не менее 5 решений.

Есть идея разложить на множители

$\left\{\begin{matrix}
(x+y-1)(x-y+a)=0\\ 
x^2+y^2+bxy-1=0

\end{matrix}\right.$

Первое уравнение -- две перпендикулярные прямые, второе уравнение -- какая-то кривая, какая именно -- зависит от $b$.

Хотелось бы графически решить, но пока что не вижу вариантов.

Есть еще вариант поочередно подставлять во второе уравнение системы $y=1-x$ и $y=x+a$, только не очевидно -- зачем.

Подскажите, пожалуйста -- в каком направлении двигаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение08.12.2014, 13:48 
Заслуженный участник


12/09/10
1468
Andrei94 в сообщении #942375 писал(а):
Чтобы значения этих дробей было минимально, нужно устремить $x$ к бесконечности.


Andrei94 в сообщении #942375 писал(а):
Найдите все числа $c$ и $d$, для которых наибольшее значение функции $y=\ldots$ на отрезке $[-1;1]$ является наименьшим.


Не нужно искать минимум, тем более глобальный, тем более неправильно. Нужен максимум на отрезке. Для каждого набора $(c,d)$ получится свой максимум. Попробуйте найти его честно. Из этого множества затем нужно выбрать наименьшее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение08.12.2014, 13:55 


26/08/11
1601
Подходящей заменой можно свести функцию в модуле к квадратичной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение08.12.2014, 14:00 
Заслуженный участник


12/09/10
1468
2. Подставьте $y=kx+t$ в уравнение
$x^2+y^2+bxy-1=0 $
какое уравнение относительно $x$ получится? Сколько оно может иметь корней?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение08.12.2014, 14:23 


22/11/11
380
Cash в сообщении #942409 писал(а):
Andrei94 в сообщении #942375 писал(а):
Чтобы значения этих дробей было минимально, нужно устремить $x$ к бесконечности.


Andrei94 в сообщении #942375 писал(а):
Найдите все числа $c$ и $d$, для которых наибольшее значение функции $y=\ldots$ на отрезке $[-1;1]$ является наименьшим.


Не нужно искать минимум, тем более глобальный, тем более неправильно. Нужен максимум на отрезке. Для каждого набора $(c,d)$ получится свой максимум. Попробуйте найти его честно. Из этого множества затем нужно выбрать наименьшее.


Честно -- это через производную? А оценкой не получится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение08.12.2014, 14:31 
Заслуженный участник


12/09/10
1468
Поработайте с выражением
$\frac{3^x+3^{-x}-2}{3^x+3^{-x}+2}$
Упростите его насколько возможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение08.12.2014, 15:14 


22/11/11
380
Cash в сообщении #942414 писал(а):
2. Подставьте $y=kx+t$ в уравнение
$x^2+y^2+bxy-1=0 $
какое уравнение относительно $x$ получится? Сколько оно может иметь корней?

Квадратное, не более двух. Только у нас же две прямых. Тогда вместе не более чытерех...да?

-- 08.12.2014, 15:18 --

Cash в сообщении #942426 писал(а):
Поработайте с выражением
$\frac{3^x+3^{-x}-2}{3^x+3^{-x}+2}$
Упростите его насколько возможно.


$\dfrac{3^x+3^{-x}-2}{3^x+3^{-x}+2}=\dfrac{\left(3^{\frac{x}{2}}-3^{-\frac{x}{2}}\right)^2}{\left(3^{\frac{x}{2}}+3^{-\frac{x}{2}}\right)^2}$

При $x=0$ это выражение равно нулю, при остальных $x$ оно больше нуля. Это выражение не меняется при замене $x$ на $-x$, потому, если $x$ будет решением, то и $-x$ будет решением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение08.12.2014, 15:56 
Заслуженный участник


12/09/10
1468
Andrei94 в сообщении #942442 писал(а):
Квадратное, не более двух

Как правило, да. Но возможны варианты
$ax^2+bx+c=0$
Может ли это уравнение иметь 3 корня?
Andrei94 в сообщении #942442 писал(а):
$\dfrac{3^x+3^{-x}-2}{3^x+3^{-x}+2}=\dfrac{\left(3^{\frac{x}{2}}-3^{-\frac{x}{2}}\right)^2}{\left(3^{\frac{x}{2}}+3^{-\frac{x}{2}}\right)^2}$

Упростили не до конца. Зачем Вам $3^{-x}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение08.12.2014, 16:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12811
Москва
По второй задаче: исходная система распадается в совокупность двух систем, в каждой из которых первое уравнение 2-й степени, а второе - линейное, а такие системы тривиально решаются и исследуются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение08.12.2014, 23:31 


22/11/11
380
Cash в сообщении #942458 писал(а):
Andrei94 в сообщении #942442 писал(а):
Квадратное, не более двух

Как правило, да. Но возможны варианты
$ax^2+bx+c=0$
Может ли это уравнение иметь 3 корня?
Andrei94 в сообщении #942442 писал(а):
$\dfrac{3^x+3^{-x}-2}{3^x+3^{-x}+2}=\dfrac{\left(3^{\frac{x}{2}}-3^{-\frac{x}{2}}\right)^2}{\left(3^{\frac{x}{2}}+3^{-\frac{x}{2}}\right)^2}$

Упростили не до конца. Зачем Вам $3^{-x}$?

три корня иметь не может.
$\dfrac{3^x+3^{-x}-2}{3^x+3^{-x}+2}=\dfrac{\left(3^{\frac{x}{2}}-3^{-\frac{x}{2}}\right)^2}{\left(3^{\frac{x}{2}}+3^{-\frac{x}{2}}\right)^2}=\dfrac{\left(3^{x}-1\right)^2}{\left(3^{x}+1\right)^2}=\left(\dfrac{3^x+1}{3^x-1}\right)^2$

-- 08.12.2014, 23:33 --

Brukvalub в сообщении #942467 писал(а):
По второй задаче: исходная система распадается в совокупность двух систем, в каждой из которых первое уравнение 2-й степени, а второе - линейное, а такие системы тривиально решаются и исследуются.

Тогда получается, что первая система имеет не более двух решений, вторая -- тоже не более двух, значит совокупность не более 4 решений. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение09.12.2014, 08:31 
Заслуженный участник


12/09/10
1468
Andrei94 в сообщении #942740 писал(а):
$\dfrac{3^x+3^{-x}-2}{3^x+3^{-x}+2}=\dfrac{\left(3^{\frac{x}{2}}-3^{-\frac{x}{2}}\right)^2}{\left(3^{\frac{x}{2}}+3^{-\frac{x}{2}}\right)^2}=\dfrac{\left(3^{x}-1\right)^2}{\left(3^{x}+1\right)^2}=\left(\dfrac{3^x+1}{3^x-1}\right)^2$

В последнем равенстве ошибка.
Теперь смотрите сообщение Shadow.
Andrei94 в сообщении #942740 писал(а):
три корня иметь не может.

Ошибаетесь.
Давайте не будем рассматривать абстрактный пример, иногда очень простые вещи трудно заметить.
Распишите второе уравнение в случае $y=1-x$ и $y=x+a$ и посмотрим уже на примере - сколько корней будет при разных параметрах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение09.12.2014, 15:37 


22/11/11
380
$\dfrac{3^x+3^{-x}-2}{3^x+3^{-x}+2}=\dfrac{\left(3^{\frac{x}{2}}-3^{-\frac{x}{2}}\right)^2}{\left(3^{\frac{x}{2}}+3^{-\frac{x}{2}}\right)^2}=\dfrac{\left(3^{x}-1\right)^2}{\left(3^{x}+1\right)^2}=\left(\dfrac{3^x-1}{3^x+1}\right)^2$

-- 09.12.2014, 15:51 --

$y=\left|4\cdot \dfrac{3^x+3^{-x}-2}{3^x+3^{-x}+2}+2(c+2d)\cdot \dfrac{3^x-1}{3^x+1}+2c+d\right|$

Тогда обозначим $t=\dfrac{3^x-1}{3^x+1}$

$y=\left|4\cdot t^2+2(c+2d)\cdot t+2c+d\right|$

Наибольшее значение этой функции на отрезке $[-1;1]$ будет достигаться или в концах отрезка или там, где производная ноль.

$y(1)=|4+2c+4d+2c+d|=|4+4c+5d|$

$y(-1)=|4-2c-4d+2c+d|=|4-3d|$

$t_0=-\dfrac{c+2d}{4}$

А как выяснить -- какое из этих значений больше?

$y(t_0)=\left|\dfrac{(c+2d)^2}{4}-\dfrac{(c+2d)^2}{2}+2c+d\right|=\dfrac{1}{4}\cdot \left|(c+2d)(c+2d-4)\right|$

-- 09.12.2014, 16:01 --

Cash в сообщении #942871 писал(а):
Ошибаетесь.
Давайте не будем рассматривать абстрактный пример, иногда очень простые вещи трудно заметить.
Распишите второе уравнение в случае $y=1-x$ и $y=x+a$ и посмотрим уже на примере - сколько корней будет при разных параметрах.


Ох, точно, при $y=1-x$

$x^2+(1-x)^2+bx(1-x)-1=0$

Группируя, получаем, что:

$x(2-b)(x-1)=0$

При $b=2$ получается бесконечное количество корней.

-- 09.12.2014, 16:02 --

При $y=x+a$ получаем $(2+b)x^2+(2a+ab)x+a^2-1=0$

При $a=\pm 1$ можно проверить отдельно.

При $a=1$ получаем $(2+b)x^2+(2+b)x=0$, тогда при $b=-2$ будет бесчисленное число корней.

При $a=-1$ получаем $(2+b)x^2+(-2-b)x=0$, тогда при $b=-2$ будет бесчисленное число корней.

То есть ответ: При $b=2$ и любом $a$ будет более четырех корней. При $b=-2$ и $a=\pm 1$ будет более четырех корней.

Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение09.12.2014, 16:27 
Заслуженный участник


12/09/10
1468
Andrei94 в сообщении #942976 писал(а):
$y=\left|4\cdot t^2+2(c+2d)\cdot t+2c+d\right|$
Наибольшее значение этой функции на отрезке $[-1;1]$

А почему вы рассматриваете отрезок $[-1;1]$ ?

Вторая задача-верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение09.12.2014, 21:19 


22/11/11
380
Cash в сообщении #942998 писал(а):
Andrei94 в сообщении #942976 писал(а):
$y=\left|4\cdot t^2+2(c+2d)\cdot t+2c+d\right|$
Наибольшее значение этой функции на отрезке $[-1;1]$

А почему вы рассматриваете отрезок $[-1;1]$ ?

Вторая задача-верно.


Потому как мне посоветовали так сделать, по-крайней мере, так понял совет:

Cash в сообщении #942409 писал(а):
Не нужно искать минимум, тем более глобальный, тем более неправильно. Нужен максимум на отрезке. Для каждого набора $(c,d)$ получится свой максимум. Попробуйте найти его честно. Из этого множества затем нужно выбрать наименьшее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение09.12.2014, 21:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11028
Казань
На отрезке, да не а том. Ведь теперь у вас другая переменная.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 55 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group