Учебник по АТЧ

[atch]

Доброго всем времени суток!
Очень нужен хороший учебник по Алгебре и терии чисел, который бы включал следующие темы:

• Основные алгебраические структуры
• Делимость натуральных чисел
  
  • Теория конгруэнций
  • Теорема Эйлера
  • Малая теорема Ферма
  • Китайская теорема об остатках
• Построение кольца многочленов от одной переменной
  
  • Делимость многочленов
  • Алгоритм Евклида
• Конечные поля
  
  • Расширение полей
• Рациональные корни многочленов
  
  • Сводимость и несводимость многочленов в поле рациональных чисел
• Cимметричные многочлены

Если конкретнее, то нужно, чтобы в нем были рассмотрены следующие вопросы:

1. Понятие делимости. В каких кольцах его можно определить.
2. Понятие неразложимости и ассоциированности.
3. Понятие НОД. Примеры.
4. Понятие эвклидового кольца.
5. Доказать, что $Z$ является эвклидовым кольцом (доказать существование деления с остатком, однозначность определения неполного частного и остатка).
6. Нахождение НОД, алгоритм Эвклида (с доказательством).
7. Два определения простого элемента эвклидового кольца, довести их эквивалентность.
8. Свойства делимости, свойства простых и взаимно простых чисел (с доказательством).
9. Диофантовое уравнение, общее решение с доказательством.
10. Конгруэнции и операции над остатками. Свойства конгруэнций (доказательства).
11. Как решается конгруэнция $ax \equiv b (\bmod n)?$
12. Символ Лежандра, его свойства.
13. Решение квадратных уравнений в кольцах вычетов $Z_n$.
14. Понятие идеала.
15. Операции над идеалами. Главные идеалы. Когда два главных идеалы равны (доказательство).
16. Фактор-кольцо, корректность определения операций (доказательство).
17. Пример - кольцо целых чисел, полное описание идеалов этого кольца (доказательство).
18. Описание оборотных элементов и делителей нуля в кольце вычетов (доказательство).
19. Функция Эйлера, ее свойства, формула для вычисления.
20. Теорема Эйлера и малая теорема Ферма (доказательства).
21. Китайская теорема об остатках (доказательство).
22. Факториальные кольца. Примеры.
23. Факториальность эвклидового кольца.
24. Что такое многочлен, определение операций над многочленами.
25. Степень многочлена, свойства степени.
26. Доказать, что кольцо многочленов является факториальным.
27. Понятие алгебраически-замкнутого поля, пример - поле $C$.
28. Теорема Безу (доказательство). Сколько корней может иметь многочлен над полем (доказательство).
29. Интерполяционный многочлен. Доказать его существование.
30. Метод Ньютона и Лагранжа нахождения интерполяционного многочлена.
31. Понятие производной многочлена. Понятие дифференцирование.
32. Схема Горнера. Нахождение значения многочлена и его производных.
33. Понятие сводимости многочлена. Показать на примере, что сводимость зависит от того, над каким полем рассматривается многочлен.
34. Понятие кратности корня. Опишите известные вам способы нахождения кратности корня.
35. Дать описание несводимых многочленов над $R$ и $C$.
36. Как проверить несводимость многочлена второго и третьего степени (ответ обоснуйте).
37. Понятие расширение поля. Понятие алгебраически-замкнутого поля, теорема о существовании. Сформулируйте основную теорему алгебры.
38. Конечные поля. Понятие характеристики поля, какой она может быть (с доказательством.
39. Доказать, что характеристика конечного поля нулевая. Понятие простого поля. Доказать, что любое поле содержит простое подполе.
40. Основная теорема о существовании конечных полей. Какого порядка может быть конечное поле?
41. Как построить конечное поле с $q$ элементов?
42. Как выполняются операции в конечном поле?

Ребята, помогите пожалуйста, очень нужна помощь

[Brukvalub]

Так это же список вопросов для экзамена по курсу лекций! Что может быть лучше, чем записи этих самых лекций?

[Someone]

Дык, записи-то надо было сделать: посещать лекции, внимательно слушать и быстро писать. А это же такая скукотища…

[Brukvalub]

Someone в сообщении #940789 писал(а):

Дык, записи-то надо было сделать: посещать лекции, внимательно слушать и быстро писать. А это же такая скукотища…

Зато теперь предлагается кому-либо нехило развлечься, выковыривая из учебников ответы на эти вопросы. Впрочем, бОльшую часть вопросов покрывает недавно изданный учебник Городенцева.

[nnosipov]

Тоже должно подойти: Куликов Л.Я., "Алгебра и теория чисел"

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

atch
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Nurzery[Rhymes]]

Рекомендую божественную монографию Лиддла и Нидеррайтера "Конечные поля", очень многое из этих вопросов там замечательно объясняется. И еще энтри-левельная книжка по ТЧ: "Введение в теорию чисел, алгоритм RSA" Коутинхо.

[Sonic86]

atch в сообщении #940691 писал(а):

Понятие сводимости многочлена.

Если что, правильно это называется "неприводимость многочлена".

atch в сообщении #940691 писал(а):

Описание оборотных элементов

"Обратных элементов".

По темам из теории чисел посоветую как обычно Бухштаба Теория чисел.

atch в сообщении #940691 писал(а):

22. Факториальные кольца. Примеры.
23. Факториальность эвклидового кольца.

Вот интересно, в каком учебнике это есть? Ван дер Вардена советовать?
А нет: Кострикин Введение в алгебру, часть 1, глава 5.

atch в сообщении #940691 писал(а):

29. Интерполяционный многочлен. Доказать его существование.
30. Метод Ньютона и Лагранжа нахождения интерполяционного многочлена.
31. Понятие производной многочлена. Понятие дифференцирование.

Это вообще в основном матанализ и численные методы.

atch в сообщении #940691 писал(а):

9. Диофантовое уравнение, общее решение с доказательством.

Общего решения произвольного диофантова уравнения не существует. Напишите вопрос конкретнее.

Ну все остальное понятно.

[atch]

Brukvalub в сообщении #940764 писал(а):

Так это же список вопросов для экзамена по курсу лекций! Что может быть лучше, чем записи этих самых лекций?

Согласен, но не всегда с лекций можно все понять (зависит от преподавателя), особенно если не на всех лекциях был.
Кроме того, я написал все разделы и вопросы надеясь найти учебник в котором есть все эти темы, в надежде, что именно из него нам давали лекции (сам преподаватель не сказал откуда он берет материалы)

Someone в сообщении #940789 писал(а):

Дык, записи-то надо было сделать: посещать лекции, внимательно слушать и быстро писать. А это же такая скукотища…

Нет, на лекцих я был и записи у меня есть, просто с кое-чем хочу подробнее разобраться

Огромное спасибо Brukvalub, nnosipov и Nurzery[Rhymes] за помощь, буду разбираться.

Особая благодарность onic86 за подробный разбор.
Кстати

Sonic86 в сообщении #940884 писал(а):

Общего решения произвольного диофантова уравнения не существует. Напишите вопрос конкретнее.

Имелось в виду в кольце целых чисел.
Хотя этот вопрос я в принципе и так хорошо знаю и понимаю, так что в принципе не надо.

Ребята большое спасибо вам за оперативность!

[provincialka]

(Мы не ребята, ребята не мы)

Вот интересно, почему меня раздражает, когда незнакомых людей называют "ребятами"? Может, потому что средний возраст участников, по моим представлениям, мягко говоря, за 30?

[Sonic86]

atch в сообщении #940905 писал(а):

Кстати

Sonic86 в сообщении #940884 писал(а):

Общего решения произвольного диофантова уравнения не существует. Напишите вопрос конкретнее.

Имелось в виду в кольце целых чисел.

Общего решения произвольного диофантова уравнения в кольце целых чисел не существует. Напишите вопрос конкретнее.

atch в сообщении #940905 писал(а):

Хотя этот вопрос я в принципе и так хорошо знаю и понимаю, так что в принципе не надо.

Посвятите, пожалуйста, общественность в общее решение уравнения $x^n+y^n=z^n$ в целых числах.

[atch]

Да сколько можно, очевидно же что имелось ввиду для n=1
$x+y = z $
В кольце целых чисел

-- 06.12.2014, 02:05 --

provincialka в сообщении #940912 писал(а):

(Мы не ребята, ребята не мы)

Вот интересно, почему меня раздражает, когда незнакомых людей называют "ребятами"? Может, потому что средний возраст участников, по моим представлениям, мягко говоря, за 30?

Извините

[VAL]

atch в сообщении #941026 писал(а):

Да сколько можно

Столько, сколько нужно.

Цитата:

очевидно же что имелось ввиду для n=1
$x+y = z $
В кольце целых чисел

Пока же, опять мимо!

[Sonic86]

atch в сообщении #941026 писал(а):

Да сколько можно, очевидно же что имелось ввиду для n=1
$x+y = z $
В кольце целых чисел

Местные телепаты сообщают мне, что клиент имеет ввиду диофантовы уравнения с одной переменной. Если так, то да - это легко.
Вообще, я же вопрос специально задавал, чтобы Вы задачу уточнили - Вам же экзамен сдавать, а не мне. Я попытался Вам помочь, Вы отказались - моя совесть чиста.