2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение24.07.2014, 15:51 


24/07/14
138
Всем доброго времени суток!
Читаю вот книгу Рубакова " Классические калибровочные поля". В 3-й главе про группы и алгебры Ли такая задача:
$$\diamond$$Задача 29. Как уже отмечалось, алгебры $SU(2)$ и $SO(3)$ изоморфны. Пусть $T$ – фундаментальное представление алгебры $SU(2)$. Ему соответствует некоторое представление алгебры $SO(3)$, обозначим его $\tilde{T}$. Показать, что не существует представления группы $SO(3)$, которое генерировало бы представление $\tilde{T}$ алгебры $SO(3)$ по формуле:$$T(1+\varepsilon A) = 1+\varepsilon T(A)$$ где $\varepsilon$ – малый параметр. В левой части $T(1+\varepsilon A)$ – это оператор, соответствующий близкому к единице элементу группы $(1+\varepsilon A) \in G$, в правой части $T(A)$ – оператор, соответствующий элементу алгебры $A \in AG$ для представления $T(AG)$.
$$\diamond$$Собственно никаких дельных идей и нету. Все, что пришло в голову свелось к тому, что предполагая, что такое представление группы $SO(3)$ существует, можно показать, что из соответствия представлений алгебр следует локальный изоморфизм групп $SU(2)$ и $SO(3)$ вблизи единицы. Но это никакого противоречия не дает.
Еще вызывает подозрения то, что представление $T$ здесь полагается фундаментальным, в то время как про $\tilde{T}$ в этом плане ничего не сказано, т.е. это какое-то произвольное представление. Возможно, то, что $T$ фундаментально как-то используется в решении.
Вроде бы каждому элементу из $SO(3)$ соответствует два из $SU(2)$: $U$ и $-U$. Но формуле выше все происходит вблизи единицы, использовать этот факт, т.к. $U$ и $-U$ не могут быть близки к единице одновременно.

Собственно вот такая проблема. Буду рад любым идеям по поводу решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение24.07.2014, 16:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63213
По-моему, это задача на прямое вычисление: постройте в явном виде $T$ алгебры $SU(2),$ и разберитесь, что такое $\widetilde{T}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение24.07.2014, 17:54 


24/07/14
138
Насколько я понимаю, т.к. $T$ – фундаментальное представление, то, фактически, $T(A)=A, \forall A\in su(2)$. Здесь su(2) – множество антиэрмитовых $2\times2$ матриц с нулевым следом: $A^\dag=-A,  \operatorname{Tr}A=0$. В явном виде: $$A=\left( \begin{array}{cc} ia & b+ic \\ -b+ic & -ia \end{array} \right)$$Из эквивалентности алгебр $su(2)=so(3)$ получаем некоторое обратимое отображение $f: su(2) \to so(3): \forall A \in su(2): f(A)=B \in so(3)$, при котором сохраняются операции алгебры Ли. Далее можно ввести отображение $F: T \to \tilde{T}: \forall A \in su(2): F(T(A))=\tilde{T}(B) \in \tilde{T}(so(3)),$ где $B=f(A)$. Это отображение задает соответствие между $T$ и $\tilde{T}$. Или я чего-то недопонимаю, или все-таки представление $\tilde{T}$ алгебры $so(3)$ именно так и строится и в таком случае ничего конкретного про $\tilde{T}$ сказать нельзя. Из условия задачи следует, что $\tilde{T}$ в принципе произвольно; даже не знаю, как здесь можно использовать явный вид представления $T$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение24.07.2014, 18:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63213
Как я понял эту задачу, надо буквально трактовать построенное вами представление алгебры $su(2)$ как представление алгебры $so(3).$ То есть, $\widetilde{T}$ будут те же антиэрмитовы бесследовые матрицы $2\times 2.$ Осталось показать, что они не будут касательными ни к какому представлению группы $SO(3).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение24.07.2014, 23:17 


24/07/14
138
Выходит, что я совсем неправильно понял условие.

Ну если так, то тогда вот какая идея. Во-первых представление $\widetilde{T}$ определяется следующим образом: если $f: so(3) \to su(2)$ изоморфизм, $B \in so(3): f(B)=A \in su(2)$, то $\widetilde{T}(B)=T(f(B))=T(A)=A$. Если существует представление группы генерирующее $\widetilde{T}(so(3))$ то для близких к единице матриц $(1+\varepsilon B) \in SO(3)$ верно $\widetilde{T}(1+\varepsilon B) = 1+\varepsilon f(B)$. Дальше мне хотелось бы как-то определить действие $\widetilde{T}$ на всю группу $SO(3)$, а не только на близкие к 1 ее элементы, ну и, понятное дело, получить противоречие. Но проблема в том, что отображение $f$ в принципе может быть каким угодно. Например, в другой задаче я показывал изоморфизм алгебр $su(2)$ и $so(3)$ следующим образом: матрицы $A$ и $B$ из этих алгебр имеют следующий вид:
$$A=\left( \begin{array}{cc} ia_1 & a_2+ia_3 \\ -a_2+ia_3 & -ia_1 \end{array} \right)            B=\left( \begin{array}{ccc} 0 & b_1 & b_2 \\ -b_1 & 0 & b_3 \\ -b_2 & -b_3 & 0 \end{array} \right)$$
– если положить, что $f(B)=A \Rightarrow b_i=-2a_i$, то при таком $f$ все операции алгебр Ли будут сохраняться. Если доопределить теперь $f$ на группу $SO(3)$, например, так: $R=1+Q \in SO(3): f(R)=M=1+B \Rightarrow B \in su(2)$ и $b_1=Q_{12}, b_2=Q_{13}, b_3=Q_{23}$, то при представлении $\widetilde{T}(SO(3)): \widetilde{T}(R)=f(R)$ не сохраняются групповые операции: для произвольных $R_1,R_2 \in SO(3): \widetilde{T}(R_1R_2) \ne \widetilde{T}(R_1) \widetilde{T}(R_2)$ (это проверяется в явном виде при подстановке матриц в $\widetilde{T}$ (фактически в $f$)).
Вот что-то такое хотелось бы получить в общем случае, для произвольного $f$ с произвольным его доопределением на группу $SO(3)$. Пока что-то ничего такого не выходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение24.07.2014, 23:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63213
_Er в сообщении #890017 писал(а):
Но проблема в том, что отображение $f$ в принципе может быть каким угодно.

Оно как раз не может быть каким угодно. Оно переводит один базис в другой с сохранением структурных констант.

Но важно не $f,$ а отображение между представлениями. Вот оно может быть тождественным, в отличие от $f,$ которое тождественным быть не может, поскольку оно отображение между разными объектами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение24.07.2014, 23:35 


24/07/14
138
Munin, у меня при написании ответа залагал браузер и пригрозил вылетом, поэтому пришлось отправить недописанный ответ, чтобы не пришлось потом заново набирать. Перечитайте, пожалуйста, на всякий случай, что я там дописал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение24.07.2014, 23:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63213
Я всё ещё считаю, что правильно ответил на это ваше сообщение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение24.07.2014, 23:52 


24/07/14
138
Munin, я по этому поводу ничего не говорю. Надо будет попробовать что-то сделать с тем, что вы сказали, но это уже завтра. А так я просто попросил перечить, чтобы вы увидели мой ответ полностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение25.07.2014, 23:15 


24/07/14
138
Munin в сообщении #889952 писал(а):
$\widetilde{T}$ будут те же антиэрмитовы бесследовые матрицы $2\times 2.$ Осталось показать, что они не будут касательными ни к какому представлению группы $SO(3).$

Munin, у меня все идеи по поводу того, как это показать, сводятся к тому, чтобы как-то скомбинировав матрицы в операторе $\widetilde{T}$ получить, что не сохраняются операции алгебры. Но мне ничего не удается, т.к. мне известно как действует представление $\widetilde{T}$ в группе $SO(3)$ только в области вблизи единицы – значит я могу использовать только близкие к единице элементы из $SO(3)$, а с их помощью никакого противоречия из допущения, что представление группы генерирует представление алгебры, получить не удается. Не могли бы вы дать какую-то подсказку, в каком направлении здесь искать решение?
Возможно, где-то здесь надо использовать свойства самих групп и алгебр, о которых идет речь, но как это сделать у меня тоже никаких идей нет.

Еще один момент: все мое знакомство с группами Ли (да и, по большому счету, с группами вообще) ограничивается главой из книги Рубакова. Это я к тому, что если есть какие-то другие известные способы в решении подобных задач, то я вполне могу о них не знать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение26.07.2014, 10:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63213
_Er в сообщении #890321 писал(а):
Munin, у меня все идеи по поводу того, как это показать, сводятся к тому, чтобы как-то скомбинировав матрицы в операторе $\widetilde{T}$ получить, что не сохраняются операции алгебры.

Это заведомо не получится, потому что алгебры изоморфны.

_Er в сообщении #890321 писал(а):
Но мне ничего не удается, т.к. мне известно как действует представление $\widetilde{T}$ в группе $SO(3)$ только в области вблизи единицы – значит я могу использовать только близкие к единице элементы из $SO(3)$

А для более далёких элементов вы можете "проложить дорожку" от единицы. Это же матрицы, а матрицы вы умеете дифференцировать, интегрировать, решать дифуры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение26.07.2014, 11:10 


24/07/14
138
Munin в сообщении #890378 писал(а):
_Er в сообщении #890321 писал(а):
Munin, у меня все идеи по поводу того, как это показать, сводятся к тому, чтобы как-то скомбинировав матрицы в операторе $\widetilde{T}$ получить, что не сохраняются операции алгебры.

Это заведомо не получится, потому что алгебры изоморфны.

Я хотел сказать "операции группы".

Munin в сообщении #890378 писал(а):
А для более далёких элементов вы можете "проложить дорожку" от единицы. Это же матрицы, а матрицы вы умеете дифференцировать, интегрировать, решать дифуры.

Попробую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение26.07.2014, 11:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63213
_Er в сообщении #890382 писал(а):
Я хотел сказать "операции группы".

С операциями группы проще. (Кстати, в группе только одна операция.) Например, если в группе выполняется какое-то $ab=cd,$ а в "кандидате в представление" - не выполняется, $ab\ne cd,$ то можно сказать, что операция группы не сохраняется. Или наоборот, в группе $\ne,$ а в "представлении" получится ${=}.$

Можете навскидку сказать, какими результатами операций отличаются группы $SU(2)$ и $SO(3)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение26.07.2014, 12:59 


24/07/14
138
Munin в сообщении #890387 писал(а):
Можете навскидку сказать, какими результатами операций отличаются группы $SU(2)$ и $SO(3)$?

Munin, навскидку каких-то различий, которые можно использовать, что-то не нахожу. Результат умножения лежит в самой группе, поэтому фактически вопрос сводится к различию между самими группами. Вблизи единицы они изоморфны, т.е. здесь различий вроде бы нет. Возможно, что-то глобальное можно получить, используя изоморфизм $SU(2)/Z_2=SO(3)$. Но даже если так, определенное выше $\tilde{T}$ дает возможность сравнивать между собой только близкие к единице элементы соответствующих групп. А, как я уже сказал, вблизи единицы различий быть не должно.

Еще. Вы предлагаете проложить дорожку от единицы – но для того, чтобы это сделать нужно знать производные в каждой точке дорожки, а не только в самом ее начале (в единице). Как мне кажется, такой возможности здесь нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Представления групп и алгебр Ли (задача)
Сообщение26.07.2014, 13:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63213
Понятно. То есть, вы ещё так близко не познакомились с этими группами, как я. Собственно, эти задачи как раз для того и предназначены, чтобы познакомиться.

Давайте познакомимся с этими группами. Вот вы пишете:
    _Er в сообщении #890017 писал(а):
    матрицы $A$ и $B$ из этих алгебр ($su(2)$ и $so(3)$) имеют следующий вид:
    $$A=\left( \begin{array}{cc} ia_1 & a_2+ia_3 \\ -a_2+ia_3 & -ia_1 \end{array} \right)            B=\left( \begin{array}{ccc} 0 & b_1 & b_2 \\ -b_1 & 0 & b_3 \\ -b_2 & -b_3 & 0 \end{array} \right)$$
    – если положить, что $f(B)=A \Rightarrow b_i=-2a_i$, то при таком $f$ все операции алгебр Ли будут сохраняться.
Замечательно. Давайте построим все элементы групп $SU(2),SO(3),$ порождаемые базисными элементами алгебр, то есть $(a_1,a_2,a_3)=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),$ и соответственно, $(b_1,b_2,b_3)=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).$ Для этого запишем кривую в группе $g(t)$ вблизи не единицы, а какой-то её произвольной точки:
$$g(t+dt)=(1+A\,dt+O(dt^2))\cdot g(t),$$ считая, что $A\not\sim t$ (тогда нам не важно, умножаем мы справа или слева). Получаем дифференциальное уравнение (операция сложения понимается в матричном смысле):
$$\begin{gathered}g(t+dt)=g(t)+dt\,A\cdot g(t)+O(dt^2)\cdot g(t)\\g(t+dt)-g(t)=dt\,A\cdot g(t)+O(dt^2)\cdot g(t)\\g'(t)=A\cdot g(t)\\\end{gathered}$$ - и теперь можем его решить, для начала для простоты при базисных $A,$ а потом, если будет охота, и при произвольных. Начальные условия для интегрирования этого дифференциального уравнения, очевидно, $g(0)=1.$

1. Проделайте это, для $(a_1,a_2,a_3)=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),$ и соответственно, $(b_1,b_2,b_3)=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).$
2. Подставьте $t=\pi/2,\pi$ для группы $SU(2),$ и (поскольку коэффициенты $b_{1,2,3}$ "весят" вдвое больше) $t=\pi,2\pi$ для группы $SO(3).$ Получите по шесть неединичных элементов каждой группы, и найдите их всевозможные произведения между собой. Обратите внимание, какие произведения для двух групп изоморфны, а какие нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 85 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group