Как преподавать математику во ВТУЗе?

V_I_Sushkov · 12/06/14 61 Сант-Петербург, Россия

Участвуя в другой теме,
topic85175-450.html
весьма похожей на эту,
я со своими взглядами на преподавание математики
оказался неугоден там и получил два предупреждения от модераторов.
Обратился к модератору Lia.
Она посоветовала мне открыть мою собственную тему.
Выполняю ее рекомендацию.

Я здесь собрал (ниже) в одно место ссылки на то, что сообщал в разных местах форума
из моего 40-летнего опыта преподавания высшей математики студентам - НЕ МАТЕМАТИКАМ
- в надежде на обсуждение и на продолжение моих опытов молодыми преподавателями.

Но сначала отвечу топикстартёру из упомянутой темы.

mishafromusa в сообщении #875907 писал(а):

V_I_Sushkov в сообщении #875702 писал(а):

Вот эта ссылка. http://www.spbstu.ru/publications/m_v/N ... /plan.html

Интересная программа, а что из этого получилось? Какие были результаты? И что с этой программой стало?

Сначала укажу место, где эта ссылка лежит не битая
post875702.html#p875702

Теперь отвечаю.
Программа была реализована в годовом курсе. Поток - 100 студентов,
практически знакомых с электроникой
(что было очень полезно для построения нового курса, -
можно было легко для них дать понятие отображения арифметических пространств
уже в самом начале обучения).

Первым следствием особенностей программы
(алгебра слита с анализом в единое целое)
было то, что студенты за год познакомились с материалом,
стандартно изучаемым за полтора - два года.
Что именно было пройдено - видно из неё самой.

Местами в курсе я использовал другую структуру знаний, обеспечивающую их бОльшую связность
в сравнении с обычной древесной структурой (как у геометрии Евклида).
Например, у меня в экзаменационных билетах были вопросы:
"дайте не менее пяти определений ранга матрицы и обоснуйте их эквивалентность",
"дайте не менее пяти интерпретаций задачи решения системы линейных алгебраических уравнений",
"объясните, зачем нужно определять вектор как элемент векторного пространства" и др.

Эти экз. вопросы в некотором смысле поставлены задом наперед в сравнении с традиционными.
Некоторые мои коллеги в те годы, когда видели мои экзаменационные вопросы,
приходили в замешательство и спрашивали: "А откуда ты их взял?"
- Ниоткуда. Сам придумал.
Без моих-то усилий студенты останутся на опорном дереве стандартного курса лекций.
И будут беспомощны, несвободны. А я их заставляю с ветки на ветку летать.

Да, чуть не забыл, у нас же в те годы был диктат идеологии векторных пространств.
В эталонных учебниках их напрочь оторвали от точечных: прибавить вектор к точке - нельзя!
Я избавил моих студентов и от этого психоза.

Вторым следствием было то, что студенты получили дополнительные знания,
которых тогда вообще не было в стандартной программе советских ВТУЗов.
В частности, я познакомил их с некоторыми базовыми понятиями из функционального анализа
(что в те годы было не принято во ВТУЗах,
не помню насчет Бауманки с её элитными студентами, но в других ВТУЗах - точно не было,
это было уделом математических факультетов университетов, да и то не всех кафедр).

Третьим следствием было то, что большинство студентов не боялись
эпсилон-дельта определений Коши. Этим я обеспечил, в частности,
будущее классической теории устойчивости движения и теории управления движением, в которых
нужны метрики в расширенном пространстве состояний и эпсилон дельта определения цели.

Обратите также внимание на то, что высказывания с кванторами сегодня являются элементом
общей грамотности (например, в работе с базами данных).
Поэтому практика рассуждений типа эпсилон-дельта Коши СЕГОДНЯ уже представляет из себя
самостоятельную ценность (вне матанализа).
И нужно не ликвидировать их в курсе лекций, как Вы планируете, а наоборот, улучшать их изложение,
решая простые задачи на их применение к простым функциям.
Логика, связывающая неравенства, там необычна для детей,
но она полезна расширением узких границ привычной им работы с неравенствами.
Фактически она дает навык мышления новыми категориями.
Это вообще урок мышления, полезный для обыденной жизни.

Быт (подчеркиваю еще раз - быт) современного юного горожанина уже вплотную
подвел его к усвоению того, что во времена Коши могли усвоить лишь лучшие из лучших.
Я пытался об этом поговорить у Вас в теме, - о кругозоре и аппарате мышления современного
человека и его отличиях от прошлого, - но на меня громко зашикали любители высокомудрия.
Они не понимают, что судить об облегчении усвоения математики надо из шкуры обучаемого.

Ещё замечу, что за 40 лет я видел немало попыток избавить студентов от рассуждений Коши
и все они были провальными.
Поймите, что сам Коши создал свой эпсилон-дельта язык для достижения той же цели
как и Ваша - устранить сложности понимания бесконечно малых Лейбница.

Ваша идея заменить Коши условиями типа Липшица была изначально очевидно бесперспективна.
И такие попытки вроде бы были в прошлом. Исчезли без следа.

Изложить непрерывность в алгебраическом стиле
(как в конце концов изложили понятия топологии, например)
можно, но не нужно, это же безумие, сразу прыгать на столь общий уровень.
(У некоторых здесь в голове дедуктивность заменила понятность. А это не одно и то же)

Но вот если сначала показать детям эпсилон-дельта определение непрерывности,
попробовать его в работе, а потом объяснить, что его мелкое изменение дает определение предела, -
- это заметное облегчение для их психики, я именно так и делал 24 года назад.
Свидетельствую: понимают легче, лучше.

В США вообще, насколько мне известно, в 1960-х примерно четверть колледжей
пытались заменить классику Коши гипервещественными числами
(то есть бесконечно малыми Лейбница, чистой арифметикой без слова "предел").
Это начинание с треском провалилось.
И не могло не провалиться.
Потому что инициаторы этого новшества вернули детям те проблемы, от которых их избавил Коши.
Поэтому я не зря писал Вам о необходимости знать и учитывать опыт предков.

Четвертым следствием была атмосфера свободного обсуждения на лекциях и занятиях.
Вообще, самой наилучшей формой практических занятий и лекций является семинар.
Для тех, кто не знает, сообщу, что в России лекции по математике давно приобрели вид
воскресных церковных проповедей.
Выбранный мной и моими студентами путь
(я позволил им определять направление разговора и они стали соавторами моей программы)
- этот путь позволил проводить и лекции и занятия в режиме, близком к вожделенному мной академическому семинару.
Мои лекции даже записывали на диктофоны, что в те годы было большой редкостью
(уж извините, но это правда, и я горжусь этим).

Чем это кончилось.
Я отказался ставить фиктивную положительную оценку ЧУЖОМУ студенту.
Мне сразу дали понять, что мои дни на факультете (теперь его нет) сочтены.
Быстро возник самозваный "методист", который написал докладную записку ректору
(в ней он написал: "курс переполнен иллюстрациями, не имеющими отношения к делу",
- иными словами он сообщил, что не понимает ничего в конспектах моих студентов,
но ведь он был новоиспеченным доктором наук...).
Вопрос разбирался в ректорате. Я там не был.
Моих студентов, пришедших туда защищать курс, как интересный для них, слушать не стали.
Эксперимент (как теперь модно говорить "проект") закрыли.
Никто из коллег не взялся продолжить чтение лекций после меня - настолько все было необычным.
Грубо говоря, вся математика была разрезана на части и склеена заново.
Никто не знал, как продолжать такой курс.

Больше я его не повторял, а в 2001 году создал журнал в интернете,
за ссылки на который здесь меня обвиняли в саморекламе.

=================================

Теперь собираю вместе то, что успел сказать по этому вопросу на форуме.

1) Необычная программа курса математики для ВТУЗа 1990/91 уч. года
ссылка лежит здесь
post875702.html#p875702

2) 60 лет нелепостей в изложении дифференциалов почти во всех советских учебниках
post875399.html#p875399
и фото страниц из Фихтенгольца к этим описаниям (смотрите их параллельно в двух окнах)
post875657.html#p875657

Не могу передать словами сколько бед наделали эти ошибки.
Ими был искалечен матанализ в головах миллионов студентов!

3) Прежде чем начать преподавать, надо осознать цели преподавания.
Потому в 2001 году я попытался описать глобальные цели преподавания математики
и роль математики в жизни человечества (официальный язык науки, вытеснивший философию)

Ссылка была выложена здесь post875446.html#p875446

4) На форуме я пытался говорить о скрытой математике в нашей обыденной жизни,
начинающейся до школы и продолжающейся всю жизнь.
Это нам надо анализировать и принимать во внимание в построении курса лекций
post874928.html#p874928
и в оффтопе (кликнуть по нему)
post875208.html#p875208

Математика тоже формирует обыденные навыки (мышления).
Лектору об этом надо заботиться.

5) Я из того поколения школьников, кому комплексные числа давали в 6 или 7 классе
(мелкое сообщение об этом забытом факте: как давали, чего достигли)
post874902.html#p874902

6) Кое-что из оцифрованного мной гуманитарного наследия России
(воспоминания металлурга акад. Павлова о студенческой жизни в Горном институте в XIX веке)
ссылка лежит здесь
post875433.html#p875433

==========================================
Напоследок отмечу очевидный жителям России факт:
реформы образования, ЕГЭ, бакалавризация-магистратизация
крайне усложнили преподавание математики во ВТУЗах.
Молодые преподаватели будут озабочены гораздо более грубыми,
приземленными проблемами.

пианист · 03/06/08 2319 МО

Предложение дать "не менее пяти определений ранга матрицы" определенно внушает..
Любопытно, а что Вы делали (делали бы), если бы студент привел определений в нужном числе, но не те, что Вы ожидали увидеть?

Ваши следствия вызывают большие сомнения.
То, что Вы объединили разнородный материал в рамках одного курса, отнюдь не означает, что студенты такой курс способны усвоить. Мне лично подобная компоновка материала определенно доставила бы серьезные проблемы.
Соответственно, вопрос, осталось ли (осталось ли бы) в головах студентов что-то после сдачи экзамена (зачета).
Эпсилон-дельта - непонятно, кто и чего должен был бояться. В математике есть немало трудных для освоения вещей, но классическое определение сходимости явно не из их числа. Никогда не сталкивался с затруднениями при его освоении, ни у товарищей, когда сам учился, ни у студентов, когда преподавал. Зачем изобретать несуществующие проблемы?
Атмосфера свободного обсуждения вещь хорошая, я тоже всегда старался ее достичь на своих занятиях, но причем здесь содержание курса?

V_I_Sushkov · 12/06/14 61 Сант-Петербург, Россия

пианист в сообщении #876045 писал(а):

Предложение дать "не менее пяти определений ранга матрицы" определенно внушает..
Любопытно, а что Вы делали (делали бы), если бы студент привел определений в нужном числе, но не те, что Вы ожидали увидеть?

Спасибо за вопрос.
1) Суть вопроса в том, что ранг именно тем и ценен, что у него есть эти определения. Иначе от него было бы мало проку.
2) Естественно, разбирался бы в том, что расскажет студент и оценивал бы круг задач, в которых его определения были бы полезны. У меня экзамен обычно был как обсуждение вопроса со студентом.

пианист в сообщении #876045 писал(а):

То, что Вы объединили разнородный материал в рамках одного курса, отнюдь не означает, что студенты такой курс способны усвоить. Мне лично подобная компоновка материала определенно доставила бы серьезные проблемы.

1) Извините, но я рассказываю именно то, что было в реальности. Это не проект. Это реализованный опыт.
2) В том-то и дело что материал сделан разнородным искусственно.
Анализ есть алгебра - вот суть того, что я делал.
3) Студенты не пошли бы в ректорат защищать мой курс от нападок "методиста".

пианист в сообщении #876045 писал(а):

Соответственно, вопрос, осталось ли (осталось ли бы) в головах студентов что-то после сдачи экзамена (зачета).

По слухам учились дальше нормально.
Одна студентка (программист по специальности) на последнем курсе попросилась ко мне писать диплом.
(небывалый случай - наша кафедра - высшей математики - не выпускающая)
Сказала, что мои лекции ей были интересны и потому она хочет по фракталам что-то сделать.

пианист в сообщении #876045 писал(а):

Эпсилон-дельта - непонятно, кто и чего должен был бояться. В математике есть немало трудных для освоения вещей, но классическое определение сходимости явно не из их числа. Никогда не сталкивался с затруднениями при его освоении, ни у товарищей, когда сам учился, ни у студентов, когда преподавал. Зачем изобретать несуществующие проблемы?

1) Эта проблема поставлена в теме, и которой меня эвакуировали. По сути это ответ туда.
2) У меня тоже не было с этим проблем в студенческой юности. А вот у студентов не элитных специальностей ВТУЗов начиная с 1980-х - сплошь и рядом.
3) Из того, что этой проблемы нет у Вас, не следует, что ее нет у других. Вон Mishafromusa на ней целую тему основал (ссылка в топике вверху).

пианист в сообщении #876045 писал(а):

Атмосфера свободного обсуждения вещь хорошая, я тоже всегда старался ее достичь на своих занятиях, но причем здесь содержание курса?

1) Необычность в том, что это курс матанализа. Который устоялся до каменной твердости. И никаких дискуссий никогда на лекциях по нему не бывает. А у меня - были!
2) Если Вы преподаете классический матанализ, то ответьте: на Ваших лекциях происходит свободная дискуссия? Если "да", то что именно Вы обсуждаете с Вашими студентами?

Ещё раз благодарю за интерес.

V_I_Sushkov · 12/06/14 61 Сант-Петербург, Россия

mishafromusa в сообщении #876145 писал(а):

<...>
Да, жалко, что прикрыли, и так быстро :-(

, меня лично это удручает, как ещё одна победа бюрократов-стандартизаторов над математиками. Я предполагаю, что и многие ваши коллеги -- преподаватели увидели в вашем эксперименте угрозу своему уютному существованию. Грустно.
-- 16.06.2014, 12:00 --

Спасибо.
Нет, что Вы! Среди моих коллег отношение было корректным.
Кто-то высказался против, просто потому, что не понимал сути моих изменений в структуре курса.
Кто-то поддержал, увидев, что склейка получилась гладкой.
А кто-то сказал, что если бы я поставил тому студенту положительную оценку - то методист наоборот, хвалил бы мой курс как новаторский.
По идее надо было бы сравнить знания двух параллельных потоков.
Но разница программ была столь большой, что это оказалось невозможным.
Со стороны администрации факультета это была просто порка за нежелание пожертвовать репутацией ради их выгоды.
Ректорату все эти вопросы преподавания математики были и непонятны и не интересны (а теперь - тем более...). Они в этой истории выступили как неодушевленная сила природы.
А один очень тогда известный в Ленинграде профессор пригласил меня сделать доклад о прочтенном курсе на методический семинар в ЛОМИ. Доклад был выслушан с интересом, но мнения в обсуждении опять же разделились. Было сказано, что надо бы продолжить... (а продолжить не было возможности)
Вот попробуйте теперь, если хотите, сходить по этой дорожке Вы.
Интересная дорожка, с красивыми видами на окрестности.

mishafromusa · 12/02/14 808

V_I_Sushkov в сообщении #876156 писал(а):

А один очень тогда известный в Ленинграде профессор пригласил меня сделать доклад о прочтенном курсе на методический семинар в ЛОМИ. Доклад был выслушан с интересом, но мнения в обсуждении опять же разделились. Было сказано, что надо бы продолжить... (а продолжить не было возможности)

Мнда... ЛОМИ, или не ЛОМИ, а безмозглых и коррумпированных бюрократов, которым на студентов плевать, никаким ломом не возьмёшь. :-(

V_I_Sushkov · 12/06/14 61 Сант-Петербург, Россия

mishafromusa в сообщении #876247 писал(а):

Мнда... ЛОМИ, или не ЛОМИ, а безмозглых и коррумпированных бюрократов, которым на студентов плевать, никаким ломом не возьмёшь. :-(

Спасибо.
1) Боюсь, Вы неправильно поняли. ЛОМИ - это Ленинградское отделение математического института им. Стеклова АН СССР. Приглашение сделать там доклад было актом поддержки моего начинания.
Другое дело, что бюрократам в моем институте была безразлична эта поддержка.
2) Теперь дело гораздо хуже. Это уже не просто бюрократизм, это большая политика, о которой мне запретили здесь писать.

V_I_Sushkov · 12/06/14 61 Сант-Петербург, Россия

Немного из того гуманитарного знания, которое я нередко даю моим студентам на занятиях математикой.

Намечу четыре темы.

1) Про причины непонимания студентом чего-то в математике
2) Про то, что вам даст изучаемая нами математика в обыденной жизни
3) Про то, чем мы думаем
4) Зачем мы учим математику? - Чтобы её правильно забыть!

Буду понемногу рассказывать.

Я не знаю как устроены наши мозги, но по популярным сообщениям биологов об устройстве мозга
и по моим наблюдениям за своим мышлением и за мышлением студентов
я пришел к выводу, что у большинства из нас есть врожденное умение чувствовать ложь в новой информации.
По моим наблюдениям это умение неосознанное, на аппаратном уровне.
Это свойство структуры нашего мозга, а не нас, как личностей, воспитанных обществом.

Опишу его простейшей приближенной моделью, не претендуя на строгое доказательства ее правильности.
Эта модель - просто способ описать, что я об этом думаю.

Мы узнаём что-то новое и сразу раскладываем его по нейронам в голове.
Информация течет по аксонам, соединяющим нейроны.
Я буду предполагать, что нейроны имеют два состояния - "да" и "нет".
Аксоны мы наращиваем днем (конденсируем из глии) и закрепляем их (или растворяем в глии) во время сна.

И вот представьте себе, что в принимаемой информации было скрытое противоречие, ложь.
Как это проявится в нашей голове?
По двум или большему числу цепочек аксонов в некий нейрон приходят противоречивые сигналы,
которые не позволяют ему принять состояние "да" или "нет".
У человека возникает чувство тревоги: "Здесь что-то не так!"

Это ощущение "Здесь что-то не так" знакомо всем людям.
Но отношение к этому чувству (т.е. правила реагирования на него) у людей разное
и оно зависит и от воспитания и от образованности и от особенностей культуры .

Так, тренированный в математических доказательствах человек будет искать противоречие
в полученной информации и не успокоится до тех пор, пока не найдет его и не устранит
ощущение "непорядка в голове".
Иногда на это уходят годы и даже десятилетия.
И очень часто это порождено желанием что-то понять, т.е. уложить в голову без противоречий.

Возьму на себя смелость заявить, что математик это существо, умеющее отыскивать ошибки и остро чувствовать ложь.
И приобретает он эти умения и навыки именно в процессе изучения математики, её методов построения рассуждений.
В математике ВТУЗа это было наиболее свойственно курсу математического анализа.

Так что если хотите уметь почти мгновенно выискивать ложь в любом тексте - изучайте матанализ! 8-)

Но под давлением "реформаторов" системы образования России курс матанализа во ВТУЗе сжат до неприличия,
превращен в спиcок догм, в значительной степени лишен именно этой важнейшей его роли -
- роли средства обучения навыкам мышления, навыкам выискивания ошибок.
Из него убрали рассуждения вроде "как до этого можно было догадаться"
(а это индукция, способ догадки, цепочка аксонов, возрождающая забытую информацию)
и убрали все вариации в доказательствах на тему "а что было бы если бы этого не было"

По последнему поводу примите мои слова сочувствия к вам, лишенным столь сильного инструмента для обыденного мышления. :-(

пианист · 03/06/08 2319 МО

Т.е., возможно, и не сочли бы ответ удовлетворительным.. Почему-то я так и подумал.
Социология (педагогика) не физика, такая выборка очевидно недостаточна. Я сталкивался (с другой, правда, стороны) с подобными "универсальными" (как швейцарский складной ножик) курсами, и мои наблюдения и выводы отличны от Ваших.
Материал разнороден в смысле применяемых техник - с этим-то Вы, надеюсь, не будете спорить?
Вы считаете, что геометрическому мышлению в задачах, входящих во ВТУЗовские курсы математики ("анализ"), не место? Боюсь, многие с Вами не согласятся.
То, что студенты Вас защищали, вполне может быть Вашей личной характеристикой, а не Вашего курса. Это же касается следующего Вашего замечания.
По эпсилон/дельта не понял: так Вы считаете, проблема имеется? Есть какие-то объективные данные?
Давно уже было.. ну вот, например, обсуждали вещественные числа, существование и примеры иррациональных и трасцендентных чисел. Студенты с большим интересом участвовали в сра.. беседе ;)

V_I_Sushkov · 12/06/14 61 Сант-Петербург, Россия