2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ядро отношения
Сообщение02.06.2014, 20:49 
Аватара пользователя


01/04/14
227
Санкт-Петербург
На множестве вещественных чисел заданно отношение $ R = \{(x,y) : x^2 = y^5 + 1\} $
Найти ядро этого отношения.

Мое решение:
По определению,ядро отношения $R$ представляет собой композицию $R$ и $ R^{-1} $: $R \circ R^{-1} $
$R^{-1} = \{(y,x) : x^2 = y^5 + 1\}$

А вот дальше я немного путаюсь. По определению, если у нас $R$ - отношение между множествами $X$ и $Y$ ,$ x \in X, y \in Y $, а $S$ - отношение между множествами $Y$ и $Z$ ,$ y \in Y, z \in Z $,то композиция этих отношений: $ \{(x,z): x \in X, z \in Z xRy, ySz;y \in Y\} $

В этой конкретной задаче $R$ - отношение между $X$ и $Y$ , $ R^{-1} $ - отношение между $Y$ и $X$ , $ x \in X, y \in Y $,и получается,что их композиция определяется как $ \{(x,x): x \in X xRy, yR^{-1}x\}$ - ядро отношения $R$ . Но что-то сомнительно оно выглядит... Где ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро отношения
Сообщение02.06.2014, 23:09 
Аватара пользователя


01/04/14
227
Санкт-Петербург
Хм,вроде я понял,где я ошибался.

Применительно к отношению $ R $ из первого поста.

$ R^{-1} = \{(y,x): x^2=y^5+1\}$

Ядро отношения: $ R \circ  R^{-1} = \{(x,z): |x|=|z| \} $

Все верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро отношения
Сообщение02.06.2014, 23:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21292
Уфа
Вам повезло, что $\forall x\exists y\,xRy$, иначе бы могло прийтись пересекать множество $\{(x,z): |x|=|z| \}$ чем-нибудь, чтобы получить ядро.

-- Вт июн 03, 2014 02:26:55 --

Например, ядром $S = \{(x,y) : x^2 = y^4 + 1\}$ будет уже $\{(x,z): |x|=|z| \wedge |x| \geqslant 1 \}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро отношения
Сообщение02.06.2014, 23:28 
Аватара пользователя


01/04/14
227
Санкт-Петербург
arseniiv в сообщении #871178 писал(а):
Например, ядром $S = \{(x,y) : x^2 = y^4 + 1\}$ будет уже $\{(x,z): |x|=|z| \wedge |x| \geqslant 1 \}$.

Не могли бы Вы пояснить,как так получилось?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро отношения
Сообщение02.06.2014, 23:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21292
Уфа
Найдите в $S$ пару, в которой первый элемент равен, скажем, 0. :-) А потом посмотрите, что из этого следует для композиции, в результате которой получается ядро.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро отношения
Сообщение02.06.2014, 23:42 
Аватара пользователя


01/04/14
227
Санкт-Петербург
arseniiv в сообщении #871183 писал(а):
Найдите в $S$ пару, в которой первый элемент равен, скажем, 0. :-) А потом посмотрите, что из этого следует для композиции, в результате которой получается ядро.

А,я понял - разумеется, если слева будет 0, то $ y^4+1 $ банально не будет выполняться при всех $y$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро отношения
Сообщение20.02.2017, 22:21 


20/02/17
1
Не могли бы разъяснить - что за множество $Z$? Разве ядро отношения - не композиция самого отношения и обратного к нему отношения: $R \circ R^{-1}$ (и, следовательно, если $R$ определено на $X \times Y$, то $kerR$ - на $X \times X$)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро отношения
Сообщение21.02.2017, 00:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21292
Уфа
VXGPo в сообщении #1194211 писал(а):
Не могли бы разъяснить - что за множество $Z$?
Здесь (в единственном месте темы, где оно вообще присутствует):
geezer в сообщении #871085 писал(а):
По определению, если у нас $R$ - отношение между множествами $X$ и $Y$ ,$ x \in X, y \in Y $, а $S$ - отношение между множествами $Y$ и $Z$ ,$ y \in Y, z \in Z $,то композиция этих отношений: $ \{(x,z): x \in X, z \in Z xRy, ySz;y \in Y\} $
оно есть часть определения композиции. Для конкретной композиции $R\circ R^{-1}$, разумеется, $Z = X$, и, конечно, результат будет подмножеством $X\times X$. В общем, никто выше не отрицал того, что вы написали, да.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group