Ядро отношения

[geezer]

На множестве вещественных чисел заданно отношение $ R = \{(x,y) : x^2 = y^5 + 1\} $
Найти ядро этого отношения.

Мое решение:
По определению,ядро отношения $R$ представляет собой композицию $R$ и $ R^{-1} $: $R \circ R^{-1} $
$R^{-1} = \{(y,x) : x^2 = y^5 + 1\}$

А вот дальше я немного путаюсь. По определению, если у нас $R$ - отношение между множествами $X$ и $Y$ ,$ x \in X, y \in Y $, а $S$ - отношение между множествами $Y$ и $Z$ ,$ y \in Y, z \in Z $,то композиция этих отношений: $ \{(x,z): x \in X, z \in Z xRy, ySz;y \in Y\} $

В этой конкретной задаче $R$ - отношение между $X$ и $Y$ , $ R^{-1} $ - отношение между $Y$ и $X$ , $ x \in X, y \in Y $,и получается,что их композиция определяется как $ \{(x,x): x \in X xRy, yR^{-1}x\}$ - ядро отношения $R$ . Но что-то сомнительно оно выглядит... Где ошибка?

[geezer]

Хм,вроде я понял,где я ошибался.

Применительно к отношению $ R $ из первого поста.

$ R^{-1} = \{(y,x): x^2=y^5+1\}$

Ядро отношения: $ R \circ R^{-1} = \{(x,z): |x|=|z| \} $

Все верно?

[arseniiv]

Вам повезло, что $\forall x\exists y\,xRy$, иначе бы могло прийтись пересекать множество $\{(x,z): |x|=|z| \}$ чем-нибудь, чтобы получить ядро.

-- Вт июн 03, 2014 02:26:55 --

Например, ядром $S = \{(x,y) : x^2 = y^4 + 1\}$ будет уже $\{(x,z): |x|=|z| \wedge |x| \geqslant 1 \}$.

[geezer]

arseniiv в сообщении #871178 писал(а):

Например, ядром $S = \{(x,y) : x^2 = y^4 + 1\}$ будет уже $\{(x,z): |x|=|z| \wedge |x| \geqslant 1 \}$.

Не могли бы Вы пояснить,как так получилось?

[arseniiv]

Найдите в $S$ пару, в которой первый элемент равен, скажем, 0. А потом посмотрите, что из этого следует для композиции, в результате которой получается ядро.

[geezer]

arseniiv в сообщении #871183 писал(а):

Найдите в $S$ пару, в которой первый элемент равен, скажем, 0. А потом посмотрите, что из этого следует для композиции, в результате которой получается ядро.

А,я понял - разумеется, если слева будет 0, то $ y^4+1 $ банально не будет выполняться при всех $y$

[VXGPo]

Не могли бы разъяснить - что за множество $Z$? Разве ядро отношения - не композиция самого отношения и обратного к нему отношения: $R \circ R^{-1}$ (и, следовательно, если $R$ определено на $X \times Y$, то $kerR$ - на $X \times X$)?

[arseniiv]

VXGPo в сообщении #1194211 писал(а):

Не могли бы разъяснить - что за множество $Z$?

Здесь (в единственном месте темы, где оно вообще присутствует):

geezer в сообщении #871085 писал(а):

По определению, если у нас $R$ - отношение между множествами $X$ и $Y$ ,$ x \in X, y \in Y $, а $S$ - отношение между множествами $Y$ и $Z$ ,$ y \in Y, z \in Z $,то композиция этих отношений: $ \{(x,z): x \in X, z \in Z xRy, ySz;y \in Y\} $

оно есть часть определения композиции. Для конкретной композиции $R\circ R^{-1}$, разумеется, $Z = X$, и, конечно, результат будет подмножеством $X\times X$. В общем, никто выше не отрицал того, что вы написали, да.