2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Принцип Бореля- Лебега
Сообщение01.05.2014, 09:18 
Аватара пользователя


30/04/14
26
А разве нельзя просто указать открытый интервал $(a-1,b+1)$, который и покроет отрезок $[a,b]$? Мне кажется, идея доказательства 1 на Википедии как раз о чём-то подобном.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма о конечном покрытии (прицип Бореля - Лебега)
Сообщение01.05.2014, 09:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6408
Нельзя. А если Вам так кажется, Вы просто не поняли сперва формулировку, а потом доказательство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма о конечном покрытии (прицип Бореля - Лебега)
Сообщение01.05.2014, 10:19 
Аватара пользователя


30/04/14
26
Otta в сообщении #857500 писал(а):
Нельзя. А если Вам так кажется, Вы просто не поняли сперва формулировку, а потом доказательство.

Знаете, а ведь я догадывался об этом. Именно эта догадка и привела меня на форум с вопросом =). Но я продолжу гнуть свою линию и, может быть, мне так повезёт, что меня переубедят в моих заблуждениях.
Из доказательства на Вики я понимаю так, что сжимая отрезок в точку, мы можем потом эту точку погрузить в некоторый открытый интервал. В этот же интервал помещаются и остальные точки окрестности, из которых мы можем составить разрастающуюся (в пределах выбранного открытого интервала) последовательность отрезков. Т.е. я понимаю так, что мы погрузили отрезок в открытый интервал. Вопрос тот же: почему нельзя сразу же погрузить исходный отрезок в соответствующий покрывающий его открытый интервал указанного выше типа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип Бореля- Лебега
Сообщение01.05.2014, 11:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6408
SamGold в сообщении #857516 писал(а):
что сжимая отрезок в точку

Это как это? Отрезок остается на месте. ))
SamGold в сообщении #857516 писал(а):
Вопрос тот же: почему нельзя сразу же погрузить исходный отрезок в соответствующий покрывающий его открытый интервал указанного выше типа.

Формулировку прочитали? Процитируйте, пожалста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма о конечном покрытии (прицип Бореля - Лебега)
Сообщение01.05.2014, 11:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12937
Москва
SamGold в сообщении #857516 писал(а):
...Вопрос тот же: почему нельзя сразу же погрузить исходный отрезок в соответствующий покрывающий его открытый интервал указанного выше типа.
Потому, что этот интервал мог и не принадлежать рассматриваемому открытому покрытию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип Бореля- Лебега
Сообщение01.05.2014, 11:56 
Аватара пользователя


30/04/14
26
Otta в сообщении #857527 писал(а):
Это как это? Отрезок остается на месте. ))

Согласен, я выразился некорректно. Имелось в виду рекурсивное дробление отрезка пополам, приводящее в пределе к единственной точке.
Otta в сообщении #857527 писал(а):
Формулировку прочитали? Процитируйте, пожалста.

Пусть $X$ — замкнутое ограниченное множество в пространстве $\mathbb R$. Тогда из всякой системы открытых множеств, покрывающих множество $X$ , можно выделить конечную подсистему, также покрывающую множество $X$ .

-- 01.05.2014, 10:59 --

Brukvalub в сообщении #857528 писал(а):
Потому, что этот интервал мог и не принадлежать рассматриваемому открытому покрытию.

Ок, тогда ведь можно взять любой другой вида $(a-x,b+y)$, где $x,y$ некоторые числа из $\mathbb R+$. Такой ведь обязательно должен существовать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип Бореля- Лебега
Сообщение01.05.2014, 11:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6408
SamGold в сообщении #857538 писал(а):
Тогда из всякой системы открытых множеств, покрывающих множество X , можно выделить конечную подсистему, также покрывающую множество X .

:!:
Это совсем не то, что Вы делаете.
Ваше, так сказать, утверждение, по сути, тривиально. Всякий отрезок можно накрыть интервалом. И что?
Ах, это, братцы, о другом. (с)

Да, из Вашего покрытия (конечным числом интервалов), очевидно, легко выбрать искомое подпокрытие. Но это нужно уметь делать для любого покрытия. Произвольным числом интервалов.

-- 01.05.2014, 15:04 --

SamGold в сообщении #857538 писал(а):
Ок, тогда ведь можно взять любой другой вида (a-x,b+y), где x,y некоторые числа из R+. Такой ведь обязательно должен существовать?

Вы не слушаете до конца. Речь не о существовании. Все они существуют. Речь о том, чтобы это был элемент исходного покрытия. Замечание Brukvalub осталось в силе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип Бореля- Лебега
Сообщение01.05.2014, 12:05 
Аватара пользователя


30/04/14
26
Otta в сообщении #857539 писал(а):
Ваше, так сказать, утверждение, по сути, тривиально. Всякий отрезок можно накрыть интервалом.

Почему нельзя этот интервал считать покрывающей подсистемой из одного элемента?

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип Бореля- Лебега
Сообщение01.05.2014, 12:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12937
Москва
SamGold в сообщении #857538 писал(а):
...
Brukvalub в сообщении #857528 писал(а):
Потому, что этот интервал мог и не принадлежать рассматриваемому открытому покрытию.

Ок, тогда ведь можно взять любой другой вида (a-x,b+y), где x,y некоторые числа из R+. Такой ведь обязательно должен существовать?
Задача: придумайте такое покрытие отрезка интервалами, в котором каждый интервал по отдельности не покрывает отрезка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип Бореля- Лебега
Сообщение01.05.2014, 12:11 
Аватара пользователя


30/04/14
26
Brukvalub в сообщении #857544 писал(а):
Задача: придумайте такое покрытие отрезка интервалами, в котором каждый интервал по отдельности не покрывает отрезка.

$(a-\varepsilon,\frac{2(a+b)}{3})\bigcup (\frac{a+b}{3},b+\varepsilon)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип Бореля- Лебега
Сообщение01.05.2014, 12:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12937
Москва
Отлично! А теперь найдите такой ОДИН элемент ПРИДУМАННОГО ВАМИ ПОКРЫТИЯ, который целиком покрывает отрезок.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение01.05.2014, 12:14 
Модератор


20/03/14
7638
И заодно формулы исправьте.
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение01.05.2014, 12:54 
Модератор


20/03/14
7638
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип Бореля- Лебега
Сообщение01.05.2014, 12:57 
Аватара пользователя


30/04/14
26
Великая сила примера! Кажется я понял в чём дело. Даже если мы возьмём покрытие, состоящее из окрестностей каждой точки отрезка, то мы сможем отбросить лишние(лежащие в пересечении произвольно выбранных), которых бесконечность. Следовательно получим конечное число открытых покрывающих интервалов.
Итак, мы можем взять произвольную покрывающую систему. Если в ней выбрать некоторую ограниченную покрывающую систему из бесконечного числа покрывающих элементов (если конечная, то доказывать нечего), то, отбрасывая из неё те, что лежат в пересечении двух других придём к конечной системе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип Бореля- Лебега
Сообщение01.05.2014, 13:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12937
Москва
Суть идеи схвачена верно. Тем не менее, понятно, что открытых покрытий отрезка - чудовищно бесконечное множество, поэтому при доказательстве т. Гейне-Бореля рассуждают не конструктивно (пытаясь каждый раз выделить конечное подпокрытие для произвольного открытого покрытия), а "от противного".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group