Принцип Бореля- Лебега

[SamGold]

А разве нельзя просто указать открытый интервал $(a-1,b+1)$, который и покроет отрезок $[a,b]$? Мне кажется, идея доказательства 1 на Википедии как раз о чём-то подобном.

[Otta]

Нельзя. А если Вам так кажется, Вы просто не поняли сперва формулировку, а потом доказательство.

[SamGold]

Otta в сообщении #857500 писал(а):

Нельзя. А если Вам так кажется, Вы просто не поняли сперва формулировку, а потом доказательство.

Знаете, а ведь я догадывался об этом. Именно эта догадка и привела меня на форум с вопросом =). Но я продолжу гнуть свою линию и, может быть, мне так повезёт, что меня переубедят в моих заблуждениях.
Из доказательства на Вики я понимаю так, что сжимая отрезок в точку, мы можем потом эту точку погрузить в некоторый открытый интервал. В этот же интервал помещаются и остальные точки окрестности, из которых мы можем составить разрастающуюся (в пределах выбранного открытого интервала) последовательность отрезков. Т.е. я понимаю так, что мы погрузили отрезок в открытый интервал. Вопрос тот же: почему нельзя сразу же погрузить исходный отрезок в соответствующий покрывающий его открытый интервал указанного выше типа.

[Otta]

SamGold в сообщении #857516 писал(а):

что сжимая отрезок в точку

Это как это? Отрезок остается на месте. ))

SamGold в сообщении #857516 писал(а):

Вопрос тот же: почему нельзя сразу же погрузить исходный отрезок в соответствующий покрывающий его открытый интервал указанного выше типа.

Формулировку прочитали? Процитируйте, пожалста.

[Brukvalub]

SamGold в сообщении #857516 писал(а):

...Вопрос тот же: почему нельзя сразу же погрузить исходный отрезок в соответствующий покрывающий его открытый интервал указанного выше типа.

Потому, что этот интервал мог и не принадлежать рассматриваемому открытому покрытию.

[SamGold]

Otta в сообщении #857527 писал(а):

Это как это? Отрезок остается на месте. ))

Согласен, я выразился некорректно. Имелось в виду рекурсивное дробление отрезка пополам, приводящее в пределе к единственной точке.

Otta в сообщении #857527 писал(а):

Формулировку прочитали? Процитируйте, пожалста.

Пусть $X$ — замкнутое ограниченное множество в пространстве $\mathbb R$. Тогда из всякой системы открытых множеств, покрывающих множество $X$ , можно выделить конечную подсистему, также покрывающую множество $X$ .

-- 01.05.2014, 10:59 --

Brukvalub в сообщении #857528 писал(а):

Потому, что этот интервал мог и не принадлежать рассматриваемому открытому покрытию.

Ок, тогда ведь можно взять любой другой вида $(a-x,b+y)$, где $x,y$ некоторые числа из $\mathbb R+$. Такой ведь обязательно должен существовать?

[Otta]

SamGold в сообщении #857538 писал(а):

Тогда из всякой системы открытых множеств, покрывающих множество X , можно выделить конечную подсистему, также покрывающую множество X .

Это совсем не то, что Вы делаете.
Ваше, так сказать, утверждение, по сути, тривиально. Всякий отрезок можно накрыть интервалом. И что?
Ах, это, братцы, о другом. (с)

Да, из Вашего покрытия (конечным числом интервалов), очевидно, легко выбрать искомое подпокрытие. Но это нужно уметь делать для любого покрытия. Произвольным числом интервалов.

-- 01.05.2014, 15:04 --

SamGold в сообщении #857538 писал(а):

Ок, тогда ведь можно взять любой другой вида (a-x,b+y), где x,y некоторые числа из R+. Такой ведь обязательно должен существовать?

Вы не слушаете до конца. Речь не о существовании. Все они существуют. Речь о том, чтобы это был элемент исходного покрытия. Замечание Brukvalub осталось в силе.

[SamGold]

Otta в сообщении #857539 писал(а):

Ваше, так сказать, утверждение, по сути, тривиально. Всякий отрезок можно накрыть интервалом.

Почему нельзя этот интервал считать покрывающей подсистемой из одного элемента?

[Brukvalub]

SamGold в сообщении #857538 писал(а):

...

Brukvalub в сообщении #857528 писал(а):

Потому, что этот интервал мог и не принадлежать рассматриваемому открытому покрытию.

Ок, тогда ведь можно взять любой другой вида (a-x,b+y), где x,y некоторые числа из R+. Такой ведь обязательно должен существовать?

Задача: придумайте такое покрытие отрезка интервалами, в котором каждый интервал по отдельности не покрывает отрезка.

[SamGold]

Brukvalub в сообщении #857544 писал(а):

Задача: придумайте такое покрытие отрезка интервалами, в котором каждый интервал по отдельности не покрывает отрезка.

$(a-\varepsilon,\frac{2(a+b)}{3})\bigcup (\frac{a+b}{3},b+\varepsilon)$

[Brukvalub]

Отлично! А теперь найдите такой ОДИН элемент ПРИДУМАННОГО ВАМИ ПОКРЫТИЯ, который целиком покрывает отрезок.

[Lia]

И заодно формулы исправьте.

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[SamGold]

Великая сила примера! Кажется я понял в чём дело. Даже если мы возьмём покрытие, состоящее из окрестностей каждой точки отрезка, то мы сможем отбросить лишние(лежащие в пересечении произвольно выбранных), которых бесконечность. Следовательно получим конечное число открытых покрывающих интервалов.
Итак, мы можем взять произвольную покрывающую систему. Если в ней выбрать некоторую ограниченную покрывающую систему из бесконечного числа покрывающих элементов (если конечная, то доказывать нечего), то, отбрасывая из неё те, что лежат в пересечении двух других придём к конечной системе.

[Brukvalub]

Суть идеи схвачена верно. Тем не менее, понятно, что открытых покрытий отрезка - чудовищно бесконечное множество, поэтому при доказательстве т. Гейне-Бореля рассуждают не конструктивно (пытаясь каждый раз выделить конечное подпокрытие для произвольного открытого покрытия), а "от противного".