Асимптоты комплексной функции

[Bonaqua]

g______d в сообщении #839590 писал(а):

Bonaqua в сообщении #839588 писал(а):

Там $\sqrt{ix}$ и в данном случае оно на область значения функции никак не влияет.

Ну хорошо, $\sqrt{ix}$. Как Вы его определяете на $\mathbb C$ или $\mathbb C\setminus \{0\}$?

Почему вы исключили нуль? В данном случае он является нулем функции.

[Otta]

Потому что точка ветвления. Как и бесконечность, кстати.

[g______d]

Я не сразу исключил, а предложил Вам два варианта. Напишите точное определение хотя бы в одном из них. Можете догадаться, что прошу не просто так.

[Shtorm]

Bonaqua в сообщении #839573 писал(а):

Значения функции будут лежать также на комплексной плоскости, а вот что будет являться непосредственным графиком, к сожалению, я не знаю.

Вы не знаете, но откуда такая убеждённость, что график функции тоже будет лежать на комплексной плоскости?

Bonaqua в сообщении #839203 писал(а):

$$f(x)=\frac{\sqrt{xi}}{x^2+1}$$

$$D(f)=x\in\mathbb{C}\setminus\{i\}$$

Давайте запишем наши иксы в виде:

$$x=a+bi$$

где $a$ - действительная часть комплексного аргумента, а $bi$ - мнимая. Подставим $x$ в исходную функцию, получим:

$$f(a,b)=\frac{\sqrt{ai-b}}{(a+bi)^2+1}$$

Таким образом, полученная комплексная функция аналогична функции двух независимых переменных $a$ и $b$, графиком которой будет являться именно поверхность. Понятно, что поверхность не вещественная, а мнимая или комплексная. Даже, если бы Вы хотели всё равно силком загнать Вашу функцию на ту же комплексную плоскость - то у Вас не получилось бы, так как каждой точке комплексной плоскости, кроме $x=\pm i$, будет соответствовать своё значение функции. При этом $a$ и $b$ не зависимы друг от друга.

[Алексей К.]

(Оффтоп)

Shtorm,

по-моему, Вы написали чушь. И очередную, и самоуверенную.

У нас с вами есть общая черта: мы оба довольно хреновые математики.

Но есть и разница: я понимаю, что не понимаю вопроса, а Вы не понимаете, что не понимаете вопроса. Т.е. я всё же чуть лучше по математике, чем Вы.

С другой стороны, я, конечно, понимаю, что мимо асимптоты Вы пройти не могли...

[Shtorm]

Алексей К., я всегда готов признать свои ошибки и готов учиться лично у Вас. Давайте разберём по косточкам - в чём я не прав. Думаю, что ТС это тоже будет полезно. Он ведь тоже не знает.

[AV_77]

(Оффтоп)

Комплексная плоскость несколько двусмысленное понятие. С одной стороны - это множество $\mathbb{C}$ комплексных чисел, которое наглядно можно представить в виде вещественной плоскости. С другой стороны, $\mathbb{C}$ - это одномерное пространство над полем комплексных чисел, то есть прямая, а плоскость - это $\mathbb{C}^2$.

[Shtorm]

AV_77, соответственно, это аргумент в пользу того - что я не прав?

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #839770 писал(а):

Давайте разберём по косточкам - в чём я не прав.

В частности, вот эта фраза меня напрягла:

Shtorm в сообщении #839741 писал(а):

Таким образом, полученная комплексная функция аналогична функции двух независимых переменных $a$ и $b$, графиком которой будет являться именно поверхность.

Я не понимаю (ну, может, ленюсь напрячься и попонимать), что такое комплекснозначная поверхность, и как её можно аналогизировать с привычной поверхностью, и (самоуверенно) подозреваю Вас в таковом непонимании.

Shtorm в сообщении #839770 писал(а):

и готов учиться лично у Вас.

Я подписался на тему (до того, как вмешался в неё) с намерением послушать математиков и понять, о чём речь. И правда, кое-кто из них потребовал от ТС определений. Наверное, Вы бы поступили подобным же образом, если бы не магическое слово асимптота. Разбирать по косточкам не буду. Буду слушать знающих людей.

[g______d]

Я не претендую на знающего, но мне кажется, что ответ как минимум зависит от выбора ветви корня, которой мы пока так и не дождались. С другой стороны, я понимаю, почему ТС не хочет этого делать – потому что если функцию по-прежнему будет хотеться определить на всей плоскости или без нескольких точек, то она станет разрывной.

[provincialka]

Bonaqua в сообщении #839573 писал(а):

Вы имеете в виду точки разрыва? В таком случае, я указал, что элемент $i$ является единственной точкой разрыва, при этом второго рода.

Ну и неверно указали. Уравнение $z^2+1=0$ имеет два корня, $z=i, z=-i$ и они не кратные.
Функция от комплексного аргумента с комплексными значениями имеет график в четырехмерном пространство. Там он будет двумерной поверхностью.
Ваша функция, как вам уже не раз указывали, неоднозначная. Корень из комплексного числа имеет два значения. Так что "поверхность" будет довольно сложная, с особыми точками (точками ветвления) в 0 и бесконечности. Как же можно говорить о ее асимптоте? Что вы под этим понимаете?

[Phaenomenon]

Функция сама по себе записана неверно и не предполагает никаких асимптот, поскольку, как тут многие уже смогли заметить, графиком комплексной функции, ведь именно здесь вы ее и интерпретируете, делится на мнимую и действительную часть по соответствующим осям. Асимптот у комплексной функции переменного быть, таким образом, не может.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #839786 писал(а):

Я не понимаю (ну, может, ленюсь напрячься и попонимать), что такое комплекснозначная поверхность, и как её можно аналогизировать с привычной поверхностью, и (самоуверенно) подозреваю Вас в таковом непонимании.

provincialka в сообщении #839865 писал(а):

Функция от комплексного аргумента с комплексными значениями имеет график в четырехмерном пространство. Там он будет двумерной поверхностью

Хотел также конкретизировать, в продолжении нашего разговора с Алексеем К. в этой теме. Прохоров Ю.В. "Математический энциклопедический словарь". В самом конце статьи "График функции" написано:

Цитата:

Графиком комплекснозначной функции $w=f(z)$, где $z=x+iy, w=u+iv$, является двумерная поверхность в 4-мерном пространстве точек с координатами $(x,y,u,v)$.

Кажется большинство участников этой темы критически относятся к понятию асимптота в данном случае. Или я не прав, так как речь идёт лишь о конкретной функции, написанной ТС? А в целом и общем в комплекснозначной функции асимптота работает? Но раз мы имеем дело с двумерной поверхностью, то почему неприменимо понятие асимптота поверхности, которое дано, например у Александрова П.С. в "Лекциях по аналитической геометрии"? Разве нельзя обобщить 3-мерный случай, рассмотренный Александровым на 4-мерный случай?

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #845933 писал(а):

Разве нельзя обобщить 3-мерный случай, рассмотренный Александровым на 4-мерный случай?

Shtorm,

Вы, я так понял, почитали упомянутую книгу, знаете все детали, Вам и карты в руки:
Разве нельзя Можно ли обобщить 3-мерный случай, рассмотренный Александровым, на 4-мерный случай?

-- 05 апр 2014, 23:30:01 --

Слово "обобщить" без спецификации объектов обобщения мне напоминает пустой трёп.
И я тоже так умею, и даже делаю иногда (вне математики, т.е. не на форуме, а в неких кабинетах на совещаниях).
И осуждаю себя за это плохими словами, но только в кругу друзей.
А они мне давно всё прощают.

[Shtorm]

Алексей К., конечно я надеялся на Ваше высокопрофессиональное мнение, дабы самому, по более низкой квалификации, не впасть в глупые ошибки, как это было не раз.
Ну так на вскидку:
Александров рассматривает вектор асимптотического направления в трёхмерном пространстве, который соответственно имеет 3 координаты. Соответственно, можно ввести 4-мерный вектор. Далее у Александрова прямая, в трёхмерном пространстве, заданная параметрически. Соответственно, можем рассмотреть аналогичный объект (не знаю как его назвать, может гиперпрямая?), заданный 4-мя уравнениями с параметром. Ищем пересечение этой гиперпрямой с комплекснозначной поверхностью. Подставляем эти уравнения в исходную функцию, которую лучше переписать в виде уравнения, приравненного к нулю и получим одно уравнение относительно параметра $t$.
На этом этапе нужно остановиться и спросить мнение заслуженных участников. Ведь все дальнейшие рассуждения у Александрова базируются именно на этом.

-- Сб апр 05, 2014 22:51:36 --

Совсем из головы вылетело, что Александров рассматривает все понятия, только на алгебраических поверхностях, а здесь-то у ТС не алгебраическая поверхность. Ну, а если бы например была комплекснозначная функция, которая представляла бы собой комплексную алгебраическую функцию, то рассуждения были бы верны?
С другой стороны, можно же расширить понятие асимптотического направления, и на более широкий класс функций.