Переход к новому базису векторного пространства

[patzer2097]

ewert в сообщении #819820 писал(а):

А нам пока и не нужно. Нам пока что нужно разобраться в том, что конечно и что бесконечно, и как это согласуется с практикой

пожалуйста. мое определение этому не как не мешает. в конечномерном случае оно в точности такое же, как Ваше.

ewert в сообщении #819820 писал(а):

если сомневаетесь -- попытайтесь заставить программистов запрограммировать хоть одного из Гамелей

ага, ушел заставлять

ewert в сообщении #819820 писал(а):

У вас просто приоритеты расставлены патологически неверно.

а Вы просто не знаете базовых понятий линейной алгебры и переходите на оскорбления, когда это становится очевидным

[ewert]

(Оффтоп)

patzer2097 в сообщении #819824 писал(а):

а Вы просто не знаете базовых понятий линейной алгебры

А я всё знаю. Т.е. не всё, конечно, но как минимум точно знаю, в какой момент что уместно, а что нет. Уж извините, но мне трудно заставить себя не знать того, что я знаю.

[provincialka]

(Давайте жить дружно)

patzer2097, вы не правы. ewert это точно знает. Давайте вести дискуссию спокойнее.

[ewert]

patzer2097 в сообщении #819824 писал(а):

мое определение этому не как не мешает.

Мешает патологически. Оно разрывает связь между теорией и практикой, разрывает напрочь.

[patzer2097]

ewert в сообщении #819834 писал(а):

Мешает патологически. Оно разрывает связь между теорией и практикой, разрывает напрочь.

Вы бы прочитали сначала определение в учебнике (я уж не говорю о том, чтобы узнать, у каких пространств есть базис, а у каких нет), а потом бы говорили о патологиях

[ewert]

patzer2097 в сообщении #819839 писал(а):

Вы бы прочитали сначала определение в учебнике

В каком?...

Может, это покажется странным, но учебников -- много. Как это ни парадоксально.

[patzer2097]

ewert в сообщении #819845 писал(а):

Может, это покажется странным, но учебников -- много. Как это ни парадоксально.

ссылок много хотя бы тут, можно смотреть на любом языке. А того определения, что Вы предлагаете, я нигде не видел..

[svv]

ewert
В каком учебнике вопрос о базисе и размерности векторного пространства изложен, на Ваш взгляд, методически правильно?

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #819790 писал(а):

базисы Гамеля 1) вычислительно не существуют и 2) их даже и абстрактное существование заранее далеко не очевидно. Т.е. как первичные объекты они никуда не годятся. Это уж потом, глубоко потом с ними можно будет поразвлекаться, если вдруг захочется.

Необязательно Рассмотрим линейное пространство многочленов с базисом Гамеля $\{x^n\}$

(Оффтоп)

ewert все время пытается превратить обсуждение задачи в обсуждение его личного мнения о математике. На это не надо ловиться. Да и кому оно интересно?

[mihailm]

(Оффтоп)

Никаких других других мнений, кроме личных, у людей говорящих от своего имени не бывает.
Ловится не надо конечно ни на одно мнение, в том числе и мнение победителя женщин.
Мнение ewert, интересно, потому что основано явно на опыте, а не на гоноре.

[Joker_vD]

Собственно, я знаю ровно два учебника, в котором сначала вводится размерность, а потом понятие базиса — это П.С. Александров, "Курс аналитической геометрии и линейной алгебры" и Ефимов–Розендорн. В остальных виденных учебниках (Глухов–Елизаров, Винберг, ван дер Варден, Ленг) размерность все-таки вводят как мощность базиса.

[Munin]

В Математической Энциклопедии размерность вводится как мощность базиса, по крайней мере в статьях "Векторное пространство (Линейное пространство)" (автор Кадец М. И.) и "Гильбертово пространство" (автор Левитан Б. М.). Ссылки:
в "Векторном пространстве": Бурбаки, Райков, Дэй, Эдвардс, Халмош, Глазман-Любич;
в "Гильбертовом пространстве": Гильберт, Безикович, фон Нейман, Рисс, Дьёдонне, Бурбаки, Ахиезер-Глазман, Карлеман, Ахиезер, Данфорд-Шварц, Рисс-Сёкефальви-Надь, Наймарк, Стоун, Колмогоров-Фомин.

(Оффтоп)

Кстати, насколько широко распространено произношение (и написание!) "фон Нойман"? Я раньше думал, что программисты говорят "фон Нейман", а математики - "фон Нойман", но в Мат. Энциклопедии написано "Дж. Нейман"...

Более того, в статье "Гильбертово пространство" говорится о двух размерностях, соответственно:
- гильбертова (или просто) размерность - мощность ортонормированного базиса;
- линейная размерность - мощность базиса Гамеля.
Факт, что два гильбертовы пространства изоморфны $\Leftrightarrow$ одинаковой размерности, относится именно к гильбертовой размерности. Отсюда, вроде, вытекает, что понятие базиса более первично, чем понятие размерности. Впрочем, см. ниже.

В статье "Банахово пространство" (Кадец М. И., Левитан Б. М.) понятие размерности вообще не вводится, и упоминается существование сепарабельного банахова пространства без базиса.

В статье "Базис" (Войцеховский М. И., Кадец М. И.) размерность векторного пространства (алгебраическая размерность) упоминается только как мощность базиса. Указано, что все базисы векторного пространства имеют одинаковую мощность, что делает вопрос о том, какое понятие первично, бессмысленным.

Статьи "Размерность" отдельной нет.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #819921 писал(а):

В статье "Банахово пространство" (Кадец М. И., Левитан Б. М.) понятие размерности вообще не вводится, и упоминается существование сепарабельного банахова пространства без базиса.

это про Базис Шаудера, базис Гамеля существует в любом пространстве.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #819864 писал(а):

Рассмотрим линейное пространство многочленов с базисом Гамеля $\{x^n\}$

Не рассмотрим. Это никому не интересный частный случай -- неинтересный именно в силу сугубой частности. В общем же хоть в каком-то смысле конструктивное описание невозможно; ну и аминь.

Линал чётко определяет понятие конечной размерности, и именно оно для него (ну или неё) только и интересно, а интересно -- лишь потому, что практически значимо. Соответственно, он (ну или она) в состоянии вполне корректно определить понятие бесконечной размерности. А варианты обобщения -- это уже не её (ну или не его) дело. Не забывайте, что речь-то изначально шла именно о линейной алгебре.

[svv]

ewert, а учебник?