2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Теорема Ферма и док-во Уайлса
Сообщение30.07.2013, 18:54 


03/02/12

530
Новочеркасск
gervladger в сообщении #750490 писал(а):
А правильно ли утверждение, что если разрешимо в целых числах $c^{nk}=a^{nk}+b^{nk}$, то разрешимо и $c^n=a^n+b^n$?


Похоже, что вы иногда воспринимаете a, b и c в этих РАЗНЫХ выражениях как одни и те же...
Действительно, в таких случаях лучше сразу обозначать разными буквами, а то потом запросто можно совершить чисто техническую ошибку...

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и док-во Уайлса
Сообщение31.07.2013, 12:02 


02/10/10
58
Для Someone. Вы правильно раскритиковали меня - просто я написал некую провокацию. Ведь в равенстве может стоять $y$, вообще говоря, в любой степени - нигде на показатель степени $2$ не содержится требований. Вы сами видите, что и $x$ и $y$ существуют при любых $a$ и $b$ (если Вам угодно - $c$ и $b$) при любом натуральном показателе степени $n$. Таким образом, данная кривая хотя и похожа на эллиптическую, но фактически ею не является, т.к. немодулярна, а все эллиптические кривые модулярны (по Уайлсу). Или кто-нибудь будет утверждать, что её нельзя нарисовать на листе бумаги?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и док-во Уайлса
Сообщение31.07.2013, 13:08 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
gervladger в сообщении #750725 писал(а):
Таким образом, данная кривая хотя и похожа на эллиптическую, но фактически ею не является, т.к. немодулярна, а все эллиптические кривые модулярны (по Уайлсу)

Не стоит приписывать Уайлсу чушь, которую Вы несете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и док-во Уайлса
Сообщение31.07.2013, 14:06 


02/10/10
58
Cash в сообщении #750736 писал(а):
gervladger в сообщении #750725 писал(а):
Таким образом, данная кривая хотя и похожа на эллиптическую, но фактически ею не является, т.к. немодулярна, а все эллиптические кривые модулярны (по Уайлсу)

Не стоит приписывать Уайлсу чушь, которую Вы несете.



Хотите сказать, что кривой $y^2=(x-3^5)x(x-4^5)$ не существует? А я её почему-то сумел построить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и док-во Уайлса
Сообщение31.07.2013, 15:58 


02/10/10
58
gervladger в сообщении #750751 писал(а):
Cash в сообщении #750736 писал(а):
gervladger в сообщении #750725 писал(а):
Таким образом, данная кривая хотя и похожа на эллиптическую, но фактически ею не является, т.к. немодулярна, а все эллиптические кривые модулярны (по Уайлсу)

Не стоит приписывать Уайлсу чушь, которую Вы несете.



Хотите сказать, что кривой $y^2=(x-3^5)x(x-4^5)$ не существует? А я её почему-то сумел построить.

Безусловно, эта кривая не является эллиптической. Поскольку определение эллиптической кривой также требует, чтобы кривая не имела особых точек. Геометрически это значит, что график не должен иметь каспов и самопересечений, что в данном случае не наблюдается. И что с того? Семейство эллиптических кривых всего лишь подмножество в семействе кривых Изображение.Откуда вытекает требование, что кривая Фрея именно эллиптическая? Откуда? Всё, что до этого смотрел, утверждает на голом месте, что кривая эллиптическая. Может быть где-то что-то чисто механически упущено, а на самом деле есть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и док-во Уайлса
Сообщение31.07.2013, 18:58 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
gervladger в сообщении #750773 писал(а):
Безусловно, эта кривая не является эллиптической.
Это Вы про кривую, заданную уравнением $y^2=(x-3^5)x(x-4^5)$? Если так, то неверно, она эллиптическая. Вообще, уравнение $y^2=P(x)$, где $P(x)$ --- кубический многочлен без кратных корней, задаёт эллиптическую кривую.

Читайте статью Соловьёва (она опубликована и в "СЖ", и в "Кванте"), там довольно понятно написано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и док-во Уайлса
Сообщение31.07.2013, 19:04 
Заслуженный участник


31/12/05
1346
gervladger в сообщении #750773 писал(а):
gervladger в сообщении #750751 писал(а):
Хотите сказать, что кривой $y^2=(x-3^5)x(x-4^5)$ не существует? А я её почему-то сумел построить.

Безусловно, эта кривая не является эллиптической. Поскольку определение эллиптической кривой также требует, чтобы кривая не имела особых точек. Геометрически это значит, что график не должен иметь каспов и самопересечений, что в данном случае не наблюдается.
Легко проверить, что эта кривая не имеет особых точек, для этого достаточно перенести все в одну часть, приравнять частные производные к нулю и убедиться, что получившаяся система трех уравнений (исходное и два для производных) не имеет решений.

С помощью подстановки
$$x=4X+424, y=8Y+4X$$
кривая приводится к минимальной форме
$$Y^2+XY=X^3+X^2-17891X-791475$$
с дискриминантом $2^{12}\cdot3^{10}\cdot11^2\cdot71^2$ и кондуктором 4686, которую можно найти в каталоге эллиптических кривых под именем 4686A2, так же как и информацию о наличии у нее модулярного представления степени 13440.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и док-во Уайлса
Сообщение31.07.2013, 22:27 


02/10/10
58
Спасибо всем за то, что меня так долго терпят. Теперь кое-что прояснилось. Получается что всякая кривая вида $y^2=(x-c^n)x(x-a^n)$ является модулярной, и в силу этого формула теоремы Ферма не имеет решений. Очевидно, что весь сыр-бор среди некоторых математиков разгорелся потому, что доказательство немодулярности кривой Рибетом появилось "несколько преждевременно", и тем самым создалось ложное впечатление, что оно, это доказательство, имеет такой же вес, как и доказательство Уайлса. Интересно, а если всё же кривая могла бы быть немодулярной, то чем бы отличался её график от модулярной кривой?

И всё же, для меня так и остаётся невыясненным вопрос, как получена формула кривой Фрея, где можно посмотреть её вывод (понятно, что произведена замена переменных, но у меня в скобках получаются $a$ и $b$)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и док-во Уайлса
Сообщение31.07.2013, 22:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Не было там никакой замены переменных. И никакого вывода одного уравнения из другого не было. Не получается кривая Фрея из уравнения Ферма. Есть просто теорема Фрея: если $x=a$, $y=b$, $z=c$ — решения уравнения Ферма $x^n+y^n=z^n$ в натуральных числах ($n>2$ простое), то эллиптическая кривая $y^2=x(x-a^n)(x-c^n)$ не является модулярной. Наличие одинаковых буковок ($x$ и $y$) в обоих уравнениях следует рассматривать как случайное совпадение, не имеющее абсолютно никакого смысла. Вам это пытались объяснить, но до Вас не дошло.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и док-во Уайлса
Сообщение01.08.2013, 12:08 


02/10/10
58
alexo2 в сообщении #750540 писал(а):
gervladger в сообщении #750490 писал(а):
А правильно ли утверждение, что если разрешимо в целых числах $c^{nk}=a^{nk}+b^{nk}$, то разрешимо и $c^n=a^n+b^n$?


Похоже, что вы иногда воспринимаете a, b и c в этих РАЗНЫХ выражениях как одни и те же...
Действительно, в таких случаях лучше сразу обозначать разными буквами, а то потом запросто можно совершить чисто техническую ошибку...

Спасибо за замечание! Нет, просто с моей стороны допущена чисто техническая ошибка. Надо было $c$ в одном случае записать как $c_1$, а в другом $c_2$




Someone в сообщении #750861 писал(а):
Не было там никакой замены переменных. И никакого вывода одного уравнения из другого не было. Не получается кривая Фрея из уравнения Ферма. Есть просто теорема Фрея: если $x=a$, $y=b$, $z=c$ — решения уравнения Ферма $x^n+y^n=z^n$ в натуральных числах ($n>2$ простое), то эллиптическая кривая $y^2=x(x-a^n)(x-c^n)$ не является модулярной. Наличие одинаковых буковок ($x$ и $y$) в обоих уравнениях следует рассматривать как случайное совпадение, не имеющее абсолютно никакого смысла. Вам это пытались объяснить, но до Вас не дошло.

На счёт буковок - не знаю, почему у Вас создалось такое впечатление... Ну, да ладно. За остальное - спасибо! Получается, значит, следующая картина. Была записана обычная эллиптическая функция, на которую действовало "ограничение" - $a$ и $c$ могут быть любыми, главное, чтобы число $(c^n-a^n)^{1/n}$ было не целым. Это уже многое проясняет! И странным уже выглядит утверждение в некоторых источниках, что Фрей хитроумными преобразованиями вывел свою кривую. Это вводит в заблуждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и док-во Уайлса
Сообщение01.08.2013, 12:21 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
gervladger в сообщении #750926 писал(а):
Была записана обычная эллиптическая функция
Аккуратнее со словами: эллиптическая кривая.
gervladger в сообщении #750926 писал(а):
главное, чтобы число $(c^n-a^n)^{1/n}$ было не целым
Наоборот, чтобы было целым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и док-во Уайлса
Сообщение01.08.2013, 12:49 


02/10/10
58
nnosipov в сообщении #750933 писал(а):
gervladger в сообщении #750926 писал(а):
Была записана обычная эллиптическая функция
Аккуратнее со словами: эллиптическая кривая.
gervladger в сообщении #750926 писал(а):
главное, чтобы число $(c^n-a^n)^{1/n}$ было не целым
Наоборот, чтобы было целым.

Хм, если оно будет целое, тогда теорема Ферма будет иметь решение, поскольку $(c^n-a^n)^{1/n}=b$, что соответствует $c^n-a^n=b^n$ :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и док-во Уайлса
Сообщение01.08.2013, 12:54 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Я имел в виду формулировку теоремы Фрея.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и док-во Уайлса
Сообщение01.08.2013, 13:02 


02/10/10
58
nnosipov в сообщении #750951 писал(а):
Я имел в виду формулировку теоремы Фрея.

А, ну тогда ладно!

По теме. Вообще, как информация в интернете может запутать! Из простого сделать сложное!


Всем спасибо за беседу!

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и док-во Уайлса
Сообщение12.12.2013, 16:35 


22/02/09

285
Свердловская обл.
Cash в сообщении #748072 писал(а):
Уайлс доказал совсем не это. Он доказал, что всякая эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами модулярна. А поскольку Рибет доказал ранее, что из равенства $a^n+b^n=c^n$ при $n \geqslant 3$ и целых $a, b,c$ следует, что кривая $Y^2 = x(x - a^n )(x - c^n )$ немодулярна, то уравнение $a^n+b^n=c^n$ не имеет решений в целых числах.

Cash ,вы пишите..Он доказал,что всякая Эллиптическая кривая модулярна!! и далее пишите...Риберт ранее доказал,что.........КРИВАЯ $Y^2 = x(x - a^n )(x - c^n )$ немодулярна.Речи уже нет о эллиптической кривой.Вывод может только один-если Уайлс прав,а он прав,то всякой ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ кривой найдется модулярная форма.Но так как у указанной эллиптической кривой не нашлось модулярной формы,а должна быть,поэтому это кривая не эллиптическая!!.Чем эллиптическая кривая отличается от кривой $Y^2 = x(x - a^n )(x - c^n )$,поясните,если можете.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 87 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group