Теорема Ферма и док-во Уайлса

[alexo2]

gervladger в сообщении #750490 писал(а):

А правильно ли утверждение, что если разрешимо в целых числах $c^{nk}=a^{nk}+b^{nk}$, то разрешимо и $c^n=a^n+b^n$?

Похоже, что вы иногда воспринимаете a, b и c в этих РАЗНЫХ выражениях как одни и те же...
Действительно, в таких случаях лучше сразу обозначать разными буквами, а то потом запросто можно совершить чисто техническую ошибку...

[gervladger]

Для Someone. Вы правильно раскритиковали меня - просто я написал некую провокацию. Ведь в равенстве может стоять $y$, вообще говоря, в любой степени - нигде на показатель степени $2$ не содержится требований. Вы сами видите, что и $x$ и $y$ существуют при любых $a$ и $b$ (если Вам угодно - $c$ и $b$) при любом натуральном показателе степени $n$. Таким образом, данная кривая хотя и похожа на эллиптическую, но фактически ею не является, т.к. немодулярна, а все эллиптические кривые модулярны (по Уайлсу). Или кто-нибудь будет утверждать, что её нельзя нарисовать на листе бумаги?

[Cash]

gervladger в сообщении #750725 писал(а):

Таким образом, данная кривая хотя и похожа на эллиптическую, но фактически ею не является, т.к. немодулярна, а все эллиптические кривые модулярны (по Уайлсу)

Не стоит приписывать Уайлсу чушь, которую Вы несете.

[gervladger]

Cash в сообщении #750736 писал(а):

gervladger в сообщении #750725 писал(а):

Таким образом, данная кривая хотя и похожа на эллиптическую, но фактически ею не является, т.к. немодулярна, а все эллиптические кривые модулярны (по Уайлсу)

Не стоит приписывать Уайлсу чушь, которую Вы несете.

Хотите сказать, что кривой $y^2=(x-3^5)x(x-4^5)$ не существует? А я её почему-то сумел построить.

[gervladger]

gervladger в сообщении #750751 писал(а):

Cash в сообщении #750736 писал(а):

gervladger в сообщении #750725 писал(а):

Таким образом, данная кривая хотя и похожа на эллиптическую, но фактически ею не является, т.к. немодулярна, а все эллиптические кривые модулярны (по Уайлсу)

Не стоит приписывать Уайлсу чушь, которую Вы несете.

Хотите сказать, что кривой $y^2=(x-3^5)x(x-4^5)$ не существует? А я её почему-то сумел построить.

Безусловно, эта кривая не является эллиптической. Поскольку определение эллиптической кривой также требует, чтобы кривая не имела особых точек. Геометрически это значит, что график не должен иметь каспов и самопересечений, что в данном случае не наблюдается. И что с того? Семейство эллиптических кривых всего лишь подмножество в семействе кривых .Откуда вытекает требование, что кривая Фрея именно эллиптическая? Откуда? Всё, что до этого смотрел, утверждает на голом месте, что кривая эллиптическая. Может быть где-то что-то чисто механически упущено, а на самом деле есть?

[nnosipov]

gervladger в сообщении #750773 писал(а):

Безусловно, эта кривая не является эллиптической.

Это Вы про кривую, заданную уравнением $y^2=(x-3^5)x(x-4^5)$? Если так, то неверно, она эллиптическая. Вообще, уравнение $y^2=P(x)$, где $P(x)$ --- кубический многочлен без кратных корней, задаёт эллиптическую кривую.

Читайте статью Соловьёва (она опубликована и в "СЖ", и в "Кванте"), там довольно понятно написано.

[tolstopuz]

gervladger в сообщении #750773 писал(а):

gervladger в сообщении #750751 писал(а):

Хотите сказать, что кривой $y^2=(x-3^5)x(x-4^5)$ не существует? А я её почему-то сумел построить.

Безусловно, эта кривая не является эллиптической. Поскольку определение эллиптической кривой также требует, чтобы кривая не имела особых точек. Геометрически это значит, что график не должен иметь каспов и самопересечений, что в данном случае не наблюдается.

Легко проверить, что эта кривая не имеет особых точек, для этого достаточно перенести все в одну часть, приравнять частные производные к нулю и убедиться, что получившаяся система трех уравнений (исходное и два для производных) не имеет решений.

С помощью подстановки

$$x=4X+424, y=8Y+4X$$

кривая приводится к минимальной форме

$$Y^2+XY=X^3+X^2-17891X-791475$$

с дискриминантом $2^{12}\cdot3^{10}\cdot11^2\cdot71^2$ и кондуктором 4686, которую можно найти в каталоге эллиптических кривых под именем 4686A2, так же как и информацию о наличии у нее модулярного представления степени 13440.

[gervladger]

Спасибо всем за то, что меня так долго терпят. Теперь кое-что прояснилось. Получается что всякая кривая вида $y^2=(x-c^n)x(x-a^n)$ является модулярной, и в силу этого формула теоремы Ферма не имеет решений. Очевидно, что весь сыр-бор среди некоторых математиков разгорелся потому, что доказательство немодулярности кривой Рибетом появилось "несколько преждевременно", и тем самым создалось ложное впечатление, что оно, это доказательство, имеет такой же вес, как и доказательство Уайлса. Интересно, а если всё же кривая могла бы быть немодулярной, то чем бы отличался её график от модулярной кривой?

И всё же, для меня так и остаётся невыясненным вопрос, как получена формула кривой Фрея, где можно посмотреть её вывод (понятно, что произведена замена переменных, но у меня в скобках получаются $a$ и $b$)?

[Someone]

Не было там никакой замены переменных. И никакого вывода одного уравнения из другого не было. Не получается кривая Фрея из уравнения Ферма. Есть просто теорема Фрея: если $x=a$, $y=b$, $z=c$ — решения уравнения Ферма $x^n+y^n=z^n$ в натуральных числах ($n>2$ простое), то эллиптическая кривая $y^2=x(x-a^n)(x-c^n)$ не является модулярной. Наличие одинаковых буковок ($x$ и $y$) в обоих уравнениях следует рассматривать как случайное совпадение, не имеющее абсолютно никакого смысла. Вам это пытались объяснить, но до Вас не дошло.

[gervladger]

alexo2 в сообщении #750540 писал(а):

gervladger в сообщении #750490 писал(а):

А правильно ли утверждение, что если разрешимо в целых числах $c^{nk}=a^{nk}+b^{nk}$, то разрешимо и $c^n=a^n+b^n$?

Похоже, что вы иногда воспринимаете a, b и c в этих РАЗНЫХ выражениях как одни и те же...
Действительно, в таких случаях лучше сразу обозначать разными буквами, а то потом запросто можно совершить чисто техническую ошибку...

Спасибо за замечание! Нет, просто с моей стороны допущена чисто техническая ошибка. Надо было $c$ в одном случае записать как $c_1$, а в другом $c_2$

Someone в сообщении #750861 писал(а):

Не было там никакой замены переменных. И никакого вывода одного уравнения из другого не было. Не получается кривая Фрея из уравнения Ферма. Есть просто теорема Фрея: если $x=a$, $y=b$, $z=c$ — решения уравнения Ферма $x^n+y^n=z^n$ в натуральных числах ($n>2$ простое), то эллиптическая кривая $y^2=x(x-a^n)(x-c^n)$ не является модулярной. Наличие одинаковых буковок ($x$ и $y$) в обоих уравнениях следует рассматривать как случайное совпадение, не имеющее абсолютно никакого смысла. Вам это пытались объяснить, но до Вас не дошло.

На счёт буковок - не знаю, почему у Вас создалось такое впечатление... Ну, да ладно. За остальное - спасибо! Получается, значит, следующая картина. Была записана обычная эллиптическая функция, на которую действовало "ограничение" - $a$ и $c$ могут быть любыми, главное, чтобы число $(c^n-a^n)^{1/n}$ было не целым. Это уже многое проясняет! И странным уже выглядит утверждение в некоторых источниках, что Фрей хитроумными преобразованиями вывел свою кривую. Это вводит в заблуждение.

[nnosipov]

gervladger в сообщении #750926 писал(а):

Была записана обычная эллиптическая функция

Аккуратнее со словами: эллиптическая кривая.

gervladger в сообщении #750926 писал(а):

главное, чтобы число $(c^n-a^n)^{1/n}$ было не целым

Наоборот, чтобы было целым.

[gervladger]

nnosipov в сообщении #750933 писал(а):

gervladger в сообщении #750926 писал(а):

Была записана обычная эллиптическая функция

Аккуратнее со словами: эллиптическая кривая.

gervladger в сообщении #750926 писал(а):

главное, чтобы число $(c^n-a^n)^{1/n}$ было не целым

Наоборот, чтобы было целым.

Хм, если оно будет целое, тогда теорема Ферма будет иметь решение, поскольку $(c^n-a^n)^{1/n}=b$, что соответствует $c^n-a^n=b^n$

[nnosipov]

Я имел в виду формулировку теоремы Фрея.

[gervladger]

nnosipov в сообщении #750951 писал(а):

Я имел в виду формулировку теоремы Фрея.

А, ну тогда ладно!

По теме. Вообще, как информация в интернете может запутать! Из простого сделать сложное!


Всем спасибо за беседу!

[Гаджимурат]

Cash в сообщении #748072 писал(а):

Уайлс доказал совсем не это. Он доказал, что всякая эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами модулярна. А поскольку Рибет доказал ранее, что из равенства $a^n+b^n=c^n$ при $n \geqslant 3$ и целых $a, b,c$ следует, что кривая $Y^2 = x(x - a^n )(x - c^n )$ немодулярна, то уравнение $a^n+b^n=c^n$ не имеет решений в целых числах.

Cash ,вы пишите..Он доказал,что всякая Эллиптическая кривая модулярна!! и далее пишите...Риберт ранее доказал,что.........КРИВАЯ $Y^2 = x(x - a^n )(x - c^n )$ немодулярна.Речи уже нет о эллиптической кривой.Вывод может только один-если Уайлс прав,а он прав,то всякой ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ кривой найдется модулярная форма.Но так как у указанной эллиптической кривой не нашлось модулярной формы,а должна быть,поэтому это кривая не эллиптическая!!.Чем эллиптическая кривая отличается от кривой $Y^2 = x(x - a^n )(x - c^n )$,поясните,если можете.