2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение25.05.2013, 01:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
692
1.Общая часть.
Есть интересная связь между двумя простыми функциями и обыкновенной школьной (не к ночи будь сказано) тригонометрией.

$$\frac{{2x}}{{1 + x^2 }}$,$$\frac{{1-x^2}}{{1 + x^2 
}}$ и $\sin(x),\cos(x)$

Сумма квадратов каждой пары равна единице, все функции по модулю меньше/равны единице.
Для повышения интереса.
Имеем тригонометрическое тождество

$$\left( {2\sin(x) + \cos(x)} \right)^2  + \left( {\sin(x) - 
2\cos(x)} \right)^2  = 5$

Если заменить в нём $$\sin(x),\cos(x)$ на $$
\frac{{2x}}{{1 + x^2 }},\frac{{1 - x^2 }}{{1 + x^2 }}$
соответственно, то тождество не изменится. А это значит, что мы сразу
нашли решения диафантового уравнения.

$z^2  + v^2  =5$

Можно легко показать, что найденные параметрические решения исчерпывают
все решения.

Введём обозначения "схожие" с тригонометрическими:
$$S\left( x \right) = \frac{{2x}}{{1 + x^2 }}$

$$C\left( x \right) = \frac{{1 - x^2 }}{{1 + x^2 }}$

$$T\left( x \right) = \frac{{S\left( x \right)}}{{C\left( x 
\right)}} = \frac{{2x}}{{1 - x^2 }}$

"Котангенс" вводить не буду, достаточно и $T(x)$

Часто будут встречаться сложные выражения.
К примеру: $S(C(x))$, что равно
$$S\left( {C\left( x \right)} \right) = \frac{{2C\left( x 
\right)}}{{1 + C^2 \left( x \right)}} = \frac{{2\frac{{1 - x^2 }}{{1 + 
x^2 }}}}{{1 + \left( {\frac{{1 - x^2 }}{{1 + x^2 }}} \right)^2 }} = 
\frac{{1 - \left( {x^2 } \right)^2 }}{{1 + \left( {x^2 } \right)^2 }} = 
C\left( {x^2 } \right)
$

2.Основные соотношения и формулы
Имеем основные соотношения, аналогичные тригонометрическим:

$$S^2 \left( x \right) + C^2 \left( x \right) = 1$

$$T^2 \left( x \right) + 1 = \frac{1}{{C^2 \left( x 
\right)}}$
Аналогично тригонометрическим есть и формулы приведения:

$$S\left( {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right) = C\left( x 
\right)$

$$C\left( {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right) = S\left( x 
\right)$

$$T\left( {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right) = \frac{1}{{T\left( x \right)}}$

Для вывода дальнейших свойств введём комплексную функцию, аналогичную
Эйлеровой:

$$E\left( x \right) = C\left( x \right) + iS\left( x 
\right)$

Её свойства:

$$E\left( x \right)E\left( y \right) = E\left( {\frac{{x + y}}{{1 -
 xy}}} \right) = C\left( {\frac{{x + y}}{{1 - xy}}} \right) + iS\left( 
{\frac{{x + y}}{{1 - xy}}} \right)$

Как видим аргументы складываются не совсем так, как в тригонометрии, но
близко.
Из этой формулы получаются соотношения:
$$C\left( x \right)C\left( y \right) - S\left( x \right)S\left( y 
\right) = C\left( {\frac{{x + y}}{{1 - xy}}} \right)$

$$S\left( x \right)C\left( y \right) + C\left( x \right)S\left( y 
\right) = S\left( {\frac{{x + y}}{{1 - xy}}} \right)
$
Формулы "удвоения угла"
$$2S\left( x \right)C\left( x \right) = S\left( {\frac{{2x}}{{1 - 
x^2 }}} \right) = S\left( {T\left( x \right)} \right)$

$$C^2 \left( x \right) - S^2 \left( x \right) = C\left( 
{\frac{{2x}}{{1 - x^2 }}} \right) = C\left( {T\left( x \right)} 
\right)$

3.Некоторые формулы
Я приведу здесь некоторые интересные формулы, пока без вывода, и
примеры их использования.

$$\left( {\frac{{2S\left( t \right)C\left( t \right)}}{{1 - S\left( t \right)^2 C\left( t \right)^2 }}} \right)\cdot S\left( t \right) = S\left( {\frac{{C^2 \left( t \right)}}{{S\left( t \right)}}} \right)$

$$\left( {\frac{{2S\left( t \right)C\left( t \right)}}{{1 - S\left( t \right)^2 C\left( t \right)^2 }}} \right)\cdot C\left( t \right) = S\left( {\frac{{S^2 \left( t \right)}}{{C\left( t \right)}}} \right)$

Рассмотрим кубоид с одной неизвестной стороной $c$,
другие стороны: $a=S(k),b=S(t)$. Главная
диагональ:$d_{abc}=1$
Тогда: $d _{ac}^2=1-S^2(k)=C^2(t), d_{bc}^2=1-S^2(t)=C^2(t)$
Диагональ $d_{ac}^2=S^2(k)+S^2(t)$
Найдём её параметрическое решение.
Примем $k = \frac{{1 - t}}{{1 + t}}$
Тогда
$$d_{ac}^2=S\left( {\frac{{1 - t}}{{1 + t}}} \right)^2  + S\left( t \right)^2 =C^2(k)+S^2(t)=1$
(Здесь я воспользовался формулой приведения $S\left( {\frac{{1 - t}}{{1 + t}}} \right) = C\left( t \right)$)
Итак, у нас есть полный рациональный кубоид, правда, с одной нулевой стороной. :-)
Теперь, используя приведённые выше формулы, получим

$$A^2  = A^2 \cdot C^2 \left( t \right) + A^2 \cdot S^2 \left( t \right) = S^2 \left( {\frac{{S^2 \left( t \right)}}{{C\left( t \right)}}} \right) + S^2 \left( {\frac{{C^2 \left( t \right)}}{{S\left( t \right)}}} \right)$
Где
$$A = \frac{{2S\left( t \right)C\left( t \right)}}{{1 - S\left( t \right)^2 C\left( t \right)^2 }}$
И мы получили параметрическое решение кубоида с одной, уже не нулевой, нерациональной стороной, главной диагональю равной единице и сторонами:

$$a = S\left( {\frac{{S^2 \left( t \right)}}{{C\left( t \right)}}} \right),b = S\left( {\frac{{C^2 \left( t \right)}}{{S\left( t \right)}}} \right) 
$
Пока всё. Итак умаялся, а писанины ещё много :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение25.05.2013, 20:41 
Заслуженный участник


17/09/10
1617
Вы точно, не издеваетесть? А очень похоже. (Извините).

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение25.05.2013, 22:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
692
Цитата:
– Это водка? – слабо спросила Маргарита. Кот подпрыгнул на стуле от обиды. – Помилуйте, королева, – прохрипел он, – разве я позволил бы себе налить даме водки? Это чистый спирт!

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение25.05.2013, 23:01 


25/08/11

1074
Есть общая теория таких конкретно функций, часть теории аппроксимаций Паде и рациональных аппроксимаций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение26.05.2013, 09:21 
Заслуженный участник


17/09/10
1617
Ещё раз прочитал исходный текст. Всё ж есть там светлые места.
Коровьев в сообщении #728049 писал(а):
Пока всё. Итак умаялся, а писанины ещё много

Ну и предыдущий текст. Думаю, надо продолжить. Интересно всё же. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение26.05.2013, 09:31 


25/08/11

1074
Когда то писал препринт с соавторами про такие функции. Вводили так: пусть $E_{n}(x)$-диагональная аппроксимация Паде экспоненты (в работе мы предложили термин ЭКСПАДЕНТА), Введём аппроксимации синуса и косинуса по формулам $E_n(ix)=C_n(x)+iS_n(x)$. Тогда для них выполнено основное как бы тригонометрическое тождество и другие аналоги тригформул. Более того, при естественных дополнениях это единственные рациональные аппроксимации с этим тождеством. Ваши функции получаются из $E_1(x)=\frac{1+x/2}{1-x/2}$ с заменой $x\to x/2$, при других $n$ получаются их обобщения.

Интерес был вот в чём. Обычные апп. Паде синуса и косинуса хоть и имеют лучший порядок аппроксимации, но неограниченны. Поэтому схемы разностных уравнений для дифуров, построенные на них (после того как решения представлены как операторные экспоненты, синусы или косинусы) неустойчивы. А нестандартные введённые аппроксимации хоть и худшего порядка, но в силу основнового тригтождества ограничены, поэтому приводят к устойчивым схемам.

Про применения к диофантовым уравнениям ничего не знал, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение27.05.2013, 19:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
692
К сожалению, про аппроксимации Паде я знаю на уровне Википедии :oops: Но вопрос про такую странную схожесть функций меня очень интересовал - "Здесь что-нибудь неспроста-с". Да./Ревизор/.
Теперь боле-мене понятно, спасибо.
Мне видится, что возможность применения такой аппроксимации в диофантовых уравнениях, наряду с хорошей схожестью в поведении их на определённом интервале, обязана именно сохранению "основного тригтождества". Возможно и следующие аппроксимации могут что-нибудь дать.
Попозже я продолжу про диофантовые уравнения. У меня всё разбросано по десяткам файлам MathType.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение29.05.2013, 00:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
692
Продолжу.
Использование таких символьных функций, конечно, ничего нового не даёт, так как нет никаких новых теорем на их основе. Однако во многих случаях запись на их основе намного компактней привычной и позволяет иногда увидеть новые связи, которые скрыты за лесом "страшных" диофантовых формул в обычной записи.
Правда, обилие скобок из-за вложенных функций тоже не очень хорошо, так как приводит к плохой читабельности формул.
Поэтому, чтобы как-то их уменьшить, я введу нижний индекс, как аргумент функции, если этот аргумент не является функцией. А именно:
$$S_x=S(x)$

$$C_x=C(x)$

$$T_x=T(x)$

Если аргумент функция, то, как и прежде, будут скобки.

Отмечу, что на основании равенства
$$x = \frac{{S_x }}{{1 + C_x }}$
любую функцию от $x$ можно превратить в функцию от $$S_x,C_x $
$$f(x)=f\left( {\frac{{S_x }}{{1 + C_x }}} \right)=F(S_x,C_x)$

Ещё две формулы
$$T\left( {\frac{{S_k }}{{C_t }}} \right) = \left( {\frac{{2C_t C_k }}{{C_k ^2  + C_t ^2  - 1}}} \right)T_k $

$$T\left( {\frac{{S_t }}{{C_k }}} \right) = \left( {\frac{{2C_t C_k }}{{C_k ^2  + C_t ^2  - 1}}} \right)T_t $

Их можно использовать при решении нескольких задач. В частности для нахождения решения Эйлерова рационального кубоида, если известно какое-то частное решение.
Уравнение для Эйлерова рационального кубоида со сторонами $$a=T_K,b=T_t,c=1$ имеет вид:
$$z^2=T_k^2+T_t^2$
тогда

$$\left( {\frac{{2C_t C_k }}{{C_k ^2  + C_t ^2  - 1}}} \right)^2 z^2  = \left( {\frac{{2C_t C_k }}{{C_k ^2  + C_t ^2  - 1}}} \right)^2 T_k ^2  + \left( {\frac{{2C_t C_k }}{{C_k ^2  + C_t ^2  - 1}}} \right)^2 T_t ^2  = T^2 \left( {\frac{{S_k }}{{C_t }}} \right) + T^2 \left( {\frac{{S_t }}{{C_k }}} \right)$

Для эллиптических дробно рациональных функций вида
$$z^2=T_xT_y$
и
$$z^2=S_xS_y$
приведу параметрические решения.

Для первого уравнения
$y = T\left( {S\left( {T_x } \right)} \right)$
Тогда
$$T_x \cdot T\left( {S\left( {T_x } \right)} \right) = \left[ {\frac{{2S_x }}{{\left( {C_x ^2  - S_x ^2 } \right)}}} \right]^2 $
и, соответственно, для второго
$y = S\left( {T\left( {S_x } \right)} \right)$
и
$$S_x \cdot S\left( {T\left( {S_x } \right)} \right) = \left[ {\frac{{2S_x C_x }}{{1 + S_x ^2 }}} \right]^2 $

И, пожалуй, ещё

$${T\left( {S\left( {T_k } \right)} \right) = T\cdot\left[ {\frac{{2C_k }}{{C_k ^2  - S_k ^2 }}} \right]^2 }$

$$S  \left( {T\left( {S_k } \right)} \right) = S\cdot \left[ {\frac{{2C_k }}{{1 + S_k ^2 }}} \right]^2 $

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение05.06.2013, 15:38 


25/08/11

1074
Про начало: а почему найденные решения исчерпывают все? Имеются в виду все-рациональные? Как быть с другими рациональными решениями более высоких порядков, вытекающими из решений тригонометрического тождества? Или они заведомо не рациональны?
Решения $x^2+y^2=1$ в рациональных числах где-то описаны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение05.06.2013, 17:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
692
Во многих учебниках по теории чисел просто доказывается, что при взаимно простых целых числах $a,b$ уравнение
$$\left( {2ab} \right)^2  + \left( {a^2  - b^2 } \right)^2  = \left( {a^2  + b^2 } \right)^2$
Описывает все целочисленные пифагоровы треугольники.
Отсюда и получается, что уравнение

$$\left( {\frac{{2t}}{{1 + t^2 }}} \right)^2  + \left( {\frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }}} \right)^2  = 1$

при различных рациональных $t$ описывает все рациональные решения уравнения

$$x^2  + y^2  = 1$

Что касается уравнения

$$x^2  + y^2  = 5$

то заменой переменных

$$\left\{ \begin{array}{l}
 x = 2a + b \\ 
 y = b - 2a \\ 
 \end{array} \right.$

мы приходим к уравнению

$$a^2  + b^2  = 1$

sergei1961 в сообщении #733006 писал(а):
Как быть с другими рациональными решениями более высоких порядков, вытекающими из решений тригонометрического тождества?


Этот вопрос я не понял :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение05.06.2013, 17:41 


25/08/11

1074
Выше я сослался на рациональные решения уравнения $x^2+y^2=1$, которые получаются из диагональных аппроксимаций Паде ЛЮБЫХ порядков (рациональные в смысле, что $x(t),y(t)$-рациональные функции параметра $t$.) Как тогда объяснить их существование? Это другие более сложные параметризации? Или они обязательно содержат иррациональные коэффициенты, то есть при рациональных $t$ будут принимать иррациональные значения, поэтому не подходят к этой задаче?

Может быть указанная Вами параметризация-только одна из возможных и не даёт все рациональные решения, в отличии от целочисленного случая?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение05.06.2013, 18:17 
Заморожен


20/12/10
5623
sergei1961 в сообщении #733057 писал(а):
Может быть указанная Вами параметризация-только одна из возможных и не даёт все рациональные решения, в отличии от целочисленного случая?
Параметризация $x=2t/(1+t^2)$, $y=(1-t^2)/(1+t^2)$ не позволяет получить только одну рациональную точку --- $(x,y)=(0,-1)$. Существование различных рациональных параметризаций не удивительно --- достаточно вместо $t$ подставить произвольную рациональную функцию нового аргумента.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение05.06.2013, 19:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
692
nnosipov в сообщении #733073 писал(а):
Параметризация $x=2t/(1+t^2)$, $y=(1-t^2)/(1+t^2)$ не позволяет получить только одну рациональную точку --- $(x,y)=(0,-1)$.

Я об этом даже и не знал :oops:
Видимо, надо было вводить параметризацию как $y=(t^2-1)/(t^2+1)$

sergei1961
Фунцции
$$\sin\frac{{\pi x}}{2},\frac{{2x}}{{1 + x^2 }}$
на интервале $\left| x \right| \le 1$ отличаются где-то на 10%
Если иметь ввиду аппроксимации синуса и косинуса высших порядков с сохранением основного тождества, то все они, по видимому, будут вида

$$\sin \to \frac{{2\varphi \left( t \right)f\left( t \right)}}{{\varphi ^2 \left( t \right) + f^2 \left( t \right)}},\cos \to \frac{{\varphi ^2 \left( t \right) - f^2 \left( t \right)}}{{\varphi ^2 \left( t \right) + f^2 \left( t \right)}}$
от полиномов с рациональными коэффициентами и могут только улучшить аппроксимацию, но вряд ли что дадут нового в смысле применения к диофантовым уравнениям.
Но, повторяю, я аппроксимации Паде ничего не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение05.06.2013, 19:21 
Заморожен


20/12/10
5623
Коровьев в сообщении #733118 писал(а):
Видимо, надо было вводить параметризацию как $y=(t^2-1)/(t^2+1)$
Не поможет, одна точка (та, через которую проводится секущая) не будет учтена общей формулой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение05.06.2013, 19:56 


25/08/11

1074
Понятно.

Такой вид, как Вы указали, действительно имеют аппроксимации, которые условно назовём нашими, они были определены выше. В теории НАШИХ есть теорема, что если две рациональные аппроксимации 1) удовлетворяют ОснТригТож, 2) имеют в нуле не худший порядок приближения, 3) одна чётная, другая-нечётная ---то это именно НАШИ. Так что при таком наборе условий получается, что других рациональных решений нет и Ваши формулы с парой полиномов верны. Это следует из определения НАШИХ аппр. и формулы для диагональных экспадент.

Жаль, что не видно применений этого семейства к диофантовым уравнениям. Мы в эту сторону и не думали. Или можно что-то придумать?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group