2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходимость ряда из операторов
Сообщение04.05.2013, 15:56 


18/11/12
75
Пусть $A:X\to X$ - линейный непрерывный оператор, и $||A||<1$ ($X$ - линейно-нормированное пространство). Нужно доказать, что ряд $E-A+A^2+...+(-1)^nA^n+...$ сходится к непрерывному линейному оператору в пространстве $L(X,X)$, который является обратным к оператору $E+A$.

В условии не сказано про полноту исходного пространства, даже если она и подразумевается, я все равно не понимаю, как установить сходимость ряда... То, что если предел есть, то он непрерывный - доказать могу. А вот насчет обратного оператора тоже не очень понятно... хочется просто умножить $E+A$ на ряд и сказать, что он сходится к тождественному, но не уверен, что так можно делать.

В любом случае, мне нужно понять, как доказывать сходимость? Единственное, что я знаю, так что $||A^n||$ стремится к нулю в силу того, что норма произведения не больше произведения норм. Что делать дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда из операторов
Сообщение04.05.2013, 17:36 
Заслуженный участник


18/01/12
917
Полнота пространства действительно нужна!
Например, в пространстве многочленов с нормой $C[0;\ \frac 12]$ оператор $Ax(t)=t\cdot x(t)$ имеет норму $\frac 12,$ но данный ряд расходится. (И оператор $E+A$ в этом пространстве необратим.)

Для доказательства сходимости ряда обратите внимание, что $||A^n ||\le ||A||^n.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда из операторов
Сообщение04.05.2013, 18:01 


18/11/12
75
hippie в сообщении #719513 писал(а):
Полнота пространства действительно нужна!
Например, в пространстве многочленов с нормой $C[0;\ \frac 12]$ оператор $Ax(t)=t\cdot x(t)$ имеет норму $\frac 12,$ но данный ряд расходится. (И оператор $E+A$ в этом пространстве необратим.)

Для доказательства сходимости ряда обратите внимание, что $||A^n ||\le ||A||^n.$


Я обратил на это внимание, но не соображу как это использовать. Хм... если исходное пространство банахово, то и пространство линейных непрерывных операторов - тоже банахово. Может воспользоваться критерием Коши?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда из операторов
Сообщение04.05.2013, 19:54 
Заслуженный участник


18/01/12
917
Сумма норм слагаемых мажорируется сходящимся рядом — суммой бесконечной убывающей геометрической прогрессии. Следовательно, последовательность частичных сумм (операторного) ряда фундаментальна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда из операторов
Сообщение27.05.2015, 22:19 


13/05/15
46
А может можно использовать спектральную теорему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда из операторов
Сообщение28.05.2015, 09:08 
Заслуженный участник


11/05/08
31255
Dimitrij в сообщении #1020535 писал(а):
А может можно использовать спектральную теорему?

Её нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда из операторов
Сообщение10.12.2016, 16:21 


30/10/16
1
Это же ряд Неймана и норма оператора как раз меньше единицы.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1 ... 0%BD%D0%B0

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group