Сходимость ряда из операторов

[Sul]

Пусть $A:X\to X$ - линейный непрерывный оператор, и $||A||<1$ ($X$ - линейно-нормированное пространство). Нужно доказать, что ряд $E-A+A^2+...+(-1)^nA^n+...$ сходится к непрерывному линейному оператору в пространстве $L(X,X)$, который является обратным к оператору $E+A$.

В условии не сказано про полноту исходного пространства, даже если она и подразумевается, я все равно не понимаю, как установить сходимость ряда... То, что если предел есть, то он непрерывный - доказать могу. А вот насчет обратного оператора тоже не очень понятно... хочется просто умножить $E+A$ на ряд и сказать, что он сходится к тождественному, но не уверен, что так можно делать.

В любом случае, мне нужно понять, как доказывать сходимость? Единственное, что я знаю, так что $||A^n||$ стремится к нулю в силу того, что норма произведения не больше произведения норм. Что делать дальше?

[hippie]

Полнота пространства действительно нужна!
Например, в пространстве многочленов с нормой $C[0;\ \frac 12]$ оператор $Ax(t)=t\cdot x(t)$ имеет норму $\frac 12,$ но данный ряд расходится. (И оператор $E+A$ в этом пространстве необратим.)

Для доказательства сходимости ряда обратите внимание, что $||A^n ||\le ||A||^n.$

[Sul]

hippie в сообщении #719513 писал(а):

Полнота пространства действительно нужна!
Например, в пространстве многочленов с нормой $C[0;\ \frac 12]$ оператор $Ax(t)=t\cdot x(t)$ имеет норму $\frac 12,$ но данный ряд расходится. (И оператор $E+A$ в этом пространстве необратим.)

Для доказательства сходимости ряда обратите внимание, что $||A^n ||\le ||A||^n.$

Я обратил на это внимание, но не соображу как это использовать. Хм... если исходное пространство банахово, то и пространство линейных непрерывных операторов - тоже банахово. Может воспользоваться критерием Коши?

[hippie]

Сумма норм слагаемых мажорируется сходящимся рядом — суммой бесконечной убывающей геометрической прогрессии. Следовательно, последовательность частичных сумм (операторного) ряда фундаментальна.

[Dimitrij]

А может можно использовать спектральную теорему?

[ewert]

Dimitrij в сообщении #1020535 писал(а):

А может можно использовать спектральную теорему?

Её нет.

[soviet_mouse]

Это же ряд Неймана и норма оператора как раз меньше единицы.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1 ... 0%BD%D0%B0