Пусть
![$A:X\to X$ $A:X\to X$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/d/aed66528e8db6e814204cdf11fe0be7b82.png)
- линейный непрерывный оператор, и
![$||A||<1$ $||A||<1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/e/a9e69e5673bfc6c6383e2a7fbd856a9c82.png)
(
![$X$ $X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb1b2a33b28eab8a3e59464768e81082.png)
- линейно-нормированное пространство). Нужно доказать, что ряд
![$E-A+A^2+...+(-1)^nA^n+...$ $E-A+A^2+...+(-1)^nA^n+...$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/7/0473c7dbcbff70199150c65be1cd144682.png)
сходится к непрерывному линейному оператору в пространстве
![$L(X,X)$ $L(X,X)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/4/444ab8c87535b63a76f4473684609cb882.png)
, который является обратным к оператору
![$E+A$ $E+A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/c/10ce5af2ad312de57317874638f9d16982.png)
.
В условии не сказано про полноту исходного пространства, даже если она и подразумевается, я все равно не понимаю, как установить сходимость ряда... То, что если предел есть, то он непрерывный - доказать могу. А вот насчет обратного оператора тоже не очень понятно... хочется просто умножить
![$E+A$ $E+A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/c/10ce5af2ad312de57317874638f9d16982.png)
на ряд и сказать, что он сходится к тождественному, но не уверен, что так можно делать.
В любом случае, мне нужно понять, как доказывать сходимость? Единственное, что я знаю, так что
![$||A^n||$ $||A^n||$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/c/dacbf3ba053bbf6cf907c76471a8dd4682.png)
стремится к нулю в силу того, что норма произведения не больше произведения норм. Что делать дальше?