2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сходимость ряда из операторов
Сообщение04.05.2013, 15:56 
Пусть $A:X\to X$ - линейный непрерывный оператор, и $||A||<1$ ($X$ - линейно-нормированное пространство). Нужно доказать, что ряд $E-A+A^2+...+(-1)^nA^n+...$ сходится к непрерывному линейному оператору в пространстве $L(X,X)$, который является обратным к оператору $E+A$.

В условии не сказано про полноту исходного пространства, даже если она и подразумевается, я все равно не понимаю, как установить сходимость ряда... То, что если предел есть, то он непрерывный - доказать могу. А вот насчет обратного оператора тоже не очень понятно... хочется просто умножить $E+A$ на ряд и сказать, что он сходится к тождественному, но не уверен, что так можно делать.

В любом случае, мне нужно понять, как доказывать сходимость? Единственное, что я знаю, так что $||A^n||$ стремится к нулю в силу того, что норма произведения не больше произведения норм. Что делать дальше?

 
 
 
 Re: Сходимость ряда из операторов
Сообщение04.05.2013, 17:36 
Полнота пространства действительно нужна!
Например, в пространстве многочленов с нормой $C[0;\ \frac 12]$ оператор $Ax(t)=t\cdot x(t)$ имеет норму $\frac 12,$ но данный ряд расходится. (И оператор $E+A$ в этом пространстве необратим.)

Для доказательства сходимости ряда обратите внимание, что $||A^n ||\le ||A||^n.$

 
 
 
 Re: Сходимость ряда из операторов
Сообщение04.05.2013, 18:01 
hippie в сообщении #719513 писал(а):
Полнота пространства действительно нужна!
Например, в пространстве многочленов с нормой $C[0;\ \frac 12]$ оператор $Ax(t)=t\cdot x(t)$ имеет норму $\frac 12,$ но данный ряд расходится. (И оператор $E+A$ в этом пространстве необратим.)

Для доказательства сходимости ряда обратите внимание, что $||A^n ||\le ||A||^n.$


Я обратил на это внимание, но не соображу как это использовать. Хм... если исходное пространство банахово, то и пространство линейных непрерывных операторов - тоже банахово. Может воспользоваться критерием Коши?

 
 
 
 Re: Сходимость ряда из операторов
Сообщение04.05.2013, 19:54 
Сумма норм слагаемых мажорируется сходящимся рядом — суммой бесконечной убывающей геометрической прогрессии. Следовательно, последовательность частичных сумм (операторного) ряда фундаментальна.

 
 
 
 Re: Сходимость ряда из операторов
Сообщение27.05.2015, 22:19 
А может можно использовать спектральную теорему?

 
 
 
 Re: Сходимость ряда из операторов
Сообщение28.05.2015, 09:08 
Dimitrij в сообщении #1020535 писал(а):
А может можно использовать спектральную теорему?

Её нет.

 
 
 
 Re: Сходимость ряда из операторов
Сообщение10.12.2016, 16:21 
Это же ряд Неймана и норма оператора как раз меньше единицы.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1 ... 0%BD%D0%B0

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group