2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Раскрашивание корневого дерева
Сообщение01.05.2013, 13:26 


01/05/13
4
Добрый день! Имеется простая, на первый взгляд, задачка, но не могу понять, где у меня нарушается логика: "Каждая вершина дерева независимо от остальных окрашивается в один из m цветов. Пусть $q(n,m)$ - количество раскрашенных деревьев с n вершинами. Доказать, что $q(3,m)=2m+10C_m^2+9C_m^3$".
В общем, я рассуждаю так: 3 вершины => всего возможно 3 дерева ($n^{n-2}$). Рассмотрим для начала 3 цвета. По формуле должно получиться 45 цветов. Итак, обозначаю вершины как $\{1,2,3\}$, цвета - как $\{a,b,c\}$.
1. Допустим, корнем является вершина 1, а листьями - вершины 2 и 3 (порядок не имеет значение). Тогда перебираем все варианты для цветов: $a-a-a$, $a-a-b$, $a-a-c$, $b-a-b$, $b-a-c$, $c-a-c$, $a-b-a$, $a-b-b$, $a-b-c$, $b-b-b$, $b-b-c$, $c-b-c$, $a-c-a$, $a-c-b$, $a-c-c$, $b-c-b$, $b-c-c$, $c-c-c$. Итого 18 вариантов для 1 дерева.
2. Аналогично, для двух других деревьев, тем самым получаем 54 варианта.
Очевидно, что в каком-то месте я просчитал одни и те же варианты несколько раз. Только вот не могу понять, где. Помогите разобраться в этом деле, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение01.05.2013, 15:31 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5680
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Дооформите, пожалуйста, формулы $\TeX$ом.
Множество набирается так: \{1,2,3\}, раскраски тоже выпишите в виде формул (русские буквы замените на латинские).
andrey_hse в сообщении #718210 писал(а):
q(n,m)
Это тоже следует оформить.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение03.05.2013, 14:57 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Раскрашивание корневого дерева
Сообщение05.05.2013, 21:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11242
Казань
Очень странная формула: она подходит только для $m\ge3$. Может, индексы перепутались местами? Может, цветов должно быть меньше, чем вершин? Хотя, вы же взяли оба числа за 3...
Вообще в таких задачах надо четко понимать, какие решения считать "разными".

 Профиль  
                  
 
 Re: Раскрашивание корневого дерева
Сообщение09.05.2013, 17:25 


01/05/13
4
Для следующего поколения :)

Будем раскрашивать корневое дерево, используя 1, 2 или 3 различных краски.
1. Начнем с одной краски из $m$ возможных. Фиксируем корень дерева и рассматриваем два случая: когда ветки отходят от корневой вершины и когда вершины соединены последовательно. Каждое из этих деревьев можно раскрасить однозначно. Таким образом получаем $2m$ вариантов раскраски при помощи одной краски.
2. Теперь используем 2 краски из m, то есть делаем выборку $C_{m}^{2}$. И снова рассматриваем 2 случая расположения вершин: когда ветки отходят от корневой вершины и когда вершины соединены последовательно. В первом случае корневую вершину можно раскрасить двумя способами, а оставшиеся ветки покрасить либо в выбранные 2 цвета из m (порядок не имеет значения), либо покрасить в цвет, отличный от вершины. Таким образом получаем $4C_{m}^{2}$ способов раскраски для первого случая. Для второго расположения вершин: опять корень можно покрасить двумя способами, а для оставшихся вершин перебираем возможные варианты покраски, избегая совпадения цветов для всех трех вершин (3 способа для каждого цвета корневой вершины). В итоге имеем еще $6C_{m}^{2}$ раскрашенных корневых деревьев, что в сумме дает $10C_{m}^{2}$ деревьев.
3. Наконец, используем для раскраски 3 цвета, которые можно выбрать $C_{m}^{3}$ способами. Фиксируя цвет корневой вершины, получаем единственный вариант, если остальные ветки исходят из этой вершины, и 2 варианта, если вершины соединены последовательно. То есть, итого $3\cdot3\cdotC_{m}^{3}=9C_{m}^{3}$.

Итоговая формула: $q(3,m)=2m+10C_{m}^{2}+9C_{m}^{3}$. Что и требовалось доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Раскрашивание корневого дерева
Сообщение17.05.2014, 14:21 


17/05/14
10
А для той же задачи, но c 4 вершинами, доказать формулу $q(4,m)=4m+44C^2_m+64C^4_m$, почему там нет слагаемого с вариантами для 3 цветов? 1, 2, и 4 есть, а 3 нету.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group