2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Разложение единицы
Сообщение06.01.2013, 17:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Ну тогда в среднем равенстве нужно учитывать зависимость $f$ от $T$.

И, наверное, проще сразу написать $\sum f_0(t/T-n)$ и, поскольку все равно нужно равенство при всех $t$, заменить $t/T$ на $t$.

-- 06.01.2013, 18:53 --

Короче говоря, проблема ровно та же: при $t<<T$ самая левая часть взрывается и, следовательно, никак не может стремиться к тождественной единице.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение единицы
Сообщение07.01.2013, 06:27 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Там выше на первой странице уже пытались взорвать левую часть. Не получилось. Точнее взрывается она не всегда. Известны условия при которых она носит бронежилет.

Нашёлся корень зла. Я даже к интегралу с дельта-функцией переходить не буду: $$\lim\limits_{T\to 0}\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t-nT)=\lim\limits_{T\to 0}\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{T}f(t-nT)T=(*)$$ $$=\lim\limits_{T\to 0}\frac{1}{T}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t-x)dx=1.$$ Преступление (позорная оплошность, постыдная ошибка) кроется на шаге (*). Для того, чтобы предельную сумму превратить в интеграл мы должны сказать "если предел существует". Ну, собственно и получаем, что если предел при периодизации существует, то он равен единице.

А когда он существует? Выше уже отмечалось, что при периодизации мы получаем периодическую функцию. Так вот если выполняется условие разложения единицы, то эта функция есть единица и предел существует. Если не выполняется, то мы имеем дело с периодической функцией, отличной от постоянной. Для неё предела при неограниченном уменьшении периода попросту не существует и проделанные выкладки некорректны. Ну, собственно, это и говорит о том, что если изначально функция $f(t)$ такова, что её периодизация даёт единицу, то это свойство сохраняется и при уменьшении $T$, а если не даёт единицу - то никогда её и не даст. (Я это называл масштабированием.) Дельта-образующие функции можно реабилитировать и никаких дополнительных свойств от них не требовать.

Интересно, что в смысле обобщённых функций предел существует и равен 1: поскольку $\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t-nT)=\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}C_ke^{i\frac{2\pi k}{T}t}$, $C_0=\frac{1}{T}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=1$, то
$$(\lim\limits_{T\to 0}\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t-nT),\varphi)=\lim\limits_{T\to 0}(\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}C_ke^{i\frac{2\pi k}{T}t},\varphi)=\lim\limits_{T\to 0}\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}C_k(e^{i\frac{2\pi k}{T}t},\varphi)=$$ $$=(C_0,\varphi)+\lim\limits_{T\to 0}\sum\limits_{-\infty,k\neq 1}^{+\infty}C_k\Phi\left(\frac{2\pi k}{T}\right)=(1,\varphi)+\lim\limits_{T\to 0}\sum\limits_{-\infty,k\neq 0}^{+\infty}C_k\Phi\left(\frac{2\pi k}{T}\right)=(1,\varphi),$$ так как спектральная плотность основной функции $\Phi(\omega)$ убывающая на бесконечности.

Вот только геометрически этот предел в смысле обобщённых функций ничего не означает.

Если у кого есть какие-нибудь замечания желательно их высказать. Всем спасибо за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение единицы
Сообщение07.01.2013, 11:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
profrotter в сообщении #668218 писал(а):
Преступление (позорная оплошность, постыдная ошибка) кроется на шаге (*). Для того, чтобы предельную сумму превратить в интеграл мы должны сказать "если предел существует".


Постыдная ошибка в том, что даже если "предел существует", то может быть равен чему угодно. Еще раз: вы вычисляете интеграл через суммы Дарбу для интервала длины $T$. Но у вас сама функция зависит от $T$. Причем как раз в плохую сторону. Суммы Дарбу сходятся к интегралу, если функция фиксирована, в противном случае нужно действовать гораздо аккуратнее (конкретно ваш случай в этом смысле плохой).

Не говоря уже о том, что бесконечную сумму вы с пределом переставляете.

Еще раз: замените $f(t-nT)$ на $f_0(t/T-n)$ и честно посчитайте все еще раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение единицы
Сообщение07.01.2013, 15:03 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Да согласен. $f(t)$ зависит ещё и от $T$. Ещё одна нечестность. С другой стороны я перешёл к интегралу, но я же ведь не убирал предел. Значит она продолжает зависеть, а $T$ продолжает стремиться. А зависимость остаётся и после интегрирования, ведь интеграл равен тому же$T$. Не знаю насколько это честно. К единичному пределу можно прийти и через формулу суммирования Пауссона. Там прекрасно будет видно, что либо рузальтат $C_0=1$, либо рассматривается предел периодической функции при неограниченном уменьшении периода, которого не существует: $$\lim_{T\to 0}\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t-nT)=\lim_{T\to 0}\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}C_ke^{i\frac{2\pi k}{T}t}$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group