Разложение единицы

[g______d]

Ну тогда в среднем равенстве нужно учитывать зависимость $f$ от $T$.

И, наверное, проще сразу написать $\sum f_0(t/T-n)$ и, поскольку все равно нужно равенство при всех $t$, заменить $t/T$ на $t$.

-- 06.01.2013, 18:53 --

Короче говоря, проблема ровно та же: при $t<<T$ самая левая часть взрывается и, следовательно, никак не может стремиться к тождественной единице.

[profrotter]

Там выше на первой странице уже пытались взорвать левую часть. Не получилось. Точнее взрывается она не всегда. Известны условия при которых она носит бронежилет.

Нашёлся корень зла. Я даже к интегралу с дельта-функцией переходить не буду:

$$\lim\limits_{T\to 0}\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t-nT)=\lim\limits_{T\to 0}\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{T}f(t-nT)T=(*)$$

$$=\lim\limits_{T\to 0}\frac{1}{T}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t-x)dx=1.$$

Преступление (позорная оплошность, постыдная ошибка) кроется на шаге (*). Для того, чтобы предельную сумму превратить в интеграл мы должны сказать "если предел существует". Ну, собственно и получаем, что если предел при периодизации существует, то он равен единице.

А когда он существует? Выше уже отмечалось, что при периодизации мы получаем периодическую функцию. Так вот если выполняется условие разложения единицы, то эта функция есть единица и предел существует. Если не выполняется, то мы имеем дело с периодической функцией, отличной от постоянной. Для неё предела при неограниченном уменьшении периода попросту не существует и проделанные выкладки некорректны. Ну, собственно, это и говорит о том, что если изначально функция $f(t)$ такова, что её периодизация даёт единицу, то это свойство сохраняется и при уменьшении $T$, а если не даёт единицу - то никогда её и не даст. (Я это называл масштабированием.) Дельта-образующие функции можно реабилитировать и никаких дополнительных свойств от них не требовать.

Интересно, что в смысле обобщённых функций предел существует и равен 1: поскольку $\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t-nT)=\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}C_ke^{i\frac{2\pi k}{T}t}$, $C_0=\frac{1}{T}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=1$, то

$$(\lim\limits_{T\to 0}\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t-nT),\varphi)=\lim\limits_{T\to 0}(\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}C_ke^{i\frac{2\pi k}{T}t},\varphi)=\lim\limits_{T\to 0}\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}C_k(e^{i\frac{2\pi k}{T}t},\varphi)=$$

$$=(C_0,\varphi)+\lim\limits_{T\to 0}\sum\limits_{-\infty,k\neq 1}^{+\infty}C_k\Phi\left(\frac{2\pi k}{T}\right)=(1,\varphi)+\lim\limits_{T\to 0}\sum\limits_{-\infty,k\neq 0}^{+\infty}C_k\Phi\left(\frac{2\pi k}{T}\right)=(1,\varphi),$$

так как спектральная плотность основной функции $\Phi(\omega)$ убывающая на бесконечности.

Вот только геометрически этот предел в смысле обобщённых функций ничего не означает.

Если у кого есть какие-нибудь замечания желательно их высказать. Всем спасибо за помощь.

[g______d]

profrotter в сообщении #668218 писал(а):

Преступление (позорная оплошность, постыдная ошибка) кроется на шаге (*). Для того, чтобы предельную сумму превратить в интеграл мы должны сказать "если предел существует".

Постыдная ошибка в том, что даже если "предел существует", то может быть равен чему угодно. Еще раз: вы вычисляете интеграл через суммы Дарбу для интервала длины $T$. Но у вас сама функция зависит от $T$. Причем как раз в плохую сторону. Суммы Дарбу сходятся к интегралу, если функция фиксирована, в противном случае нужно действовать гораздо аккуратнее (конкретно ваш случай в этом смысле плохой).

Не говоря уже о том, что бесконечную сумму вы с пределом переставляете.

Еще раз: замените $f(t-nT)$ на $f_0(t/T-n)$ и честно посчитайте все еще раз.

[profrotter]

Да согласен. $f(t)$ зависит ещё и от $T$. Ещё одна нечестность. С другой стороны я перешёл к интегралу, но я же ведь не убирал предел. Значит она продолжает зависеть, а $T$ продолжает стремиться. А зависимость остаётся и после интегрирования, ведь интеграл равен тому же$T$. Не знаю насколько это честно. К единичному пределу можно прийти и через формулу суммирования Пауссона. Там прекрасно будет видно, что либо рузальтат $C_0=1$, либо рассматривается предел периодической функции при неограниченном уменьшении периода, которого не существует:

$$\lim_{T\to 0}\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t-nT)=\lim_{T\to 0}\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}C_ke^{i\frac{2\pi k}{T}t}$$