Для чего в физике вводится понятие псевдовектора

[мат-ламер]

Для чего в физике вводится понятие псевдовектора или аксиального вектора? И является ли это понятие математически формализуемым? В математических книгах я это понятие не встречал. Я понимаю это понятие как обычный вектор (причём имеющий направление). Если в разных системах координат (с разной ориентацией) направление этих векторов отличаются - это что, должно кого-то смущать? Или может кому-то намекает, что это ненастоящий вектор? Напрашивается аналогия с энергией. Если энергия имеет разное значение в разных системах координат, то может энергия это не скаляр, а псевдоскаляр?

[Oleg Zubelevich]

мат-ламер в сообщении #625177 писал(а):

Для чего в физике вводится понятие псевдовектора или аксиального вектора?

потому, что аксиальный вектор угловой скорости это удобно: $\overline v_A=\overline v_B+[\overline \omega, \overline{BA}]$.
И аксиальный вектор --" векторное произведение" тоже удобно, и псевдоскаляр - "смешанное произведение" тоже удобно итд

мат-ламер в сообщении #625177 писал(а):

И является ли это понятие математически формализуем? В математических книгах я это понятие не встречал.

Ефимов Розендорн Линейная алгебра и многомерная геометрия

[Xaositect]

мат-ламер в сообщении #625177 писал(а):

И является ли это понятие математически формализуем? В математических книгах я это понятие не встречал.

Псевдовекторы - это элементы представления $\Lambda^{n-1}\mathbb{R}^n$ (а псевдоскаляры - $\Lambda^n\mathbb{R}^n$) группы $O(n)$ ортогональных преобразований пространства $\mathbb{R}^n$.

мат-ламер в сообщении #625177 писал(а):

Если энергия имеет разное значение в разных системах координат, то может энергия это не скаляр, а псевдоскаляр?

Энергия - это компонента 4-вектора.

[Oleg Zubelevich]

Xaositect в сообщении #625204 писал(а):

Псевдовекторы - это элементы представления $\Lambda^{n-1}\mathbb{R}^n$ (а псевдоскаляры - $\Lambda^n\mathbb{R}^n$) группы $O(n)$ ортогональных преобразований пространства $\mathbb{R}^n$.

это не соответствует стандартному определению (см цитированную книгу) там определение с метрикой вообще не связано, так, что $O(n)$ просто взяться неоткуда

[Xaositect]

Ну значит не $O(n)$, а $GL(n)$.

[casualvisitor]

Н. Е. Кочин ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И НАЧАЛА ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ писал(а):

В сущности представление некторого произведения вектором чисто
условно; гораздо естественнее было бы изображать его площадкой,
например, параллелограммом, построенным на векторах а и Ь, имеющим
определенное направление обхода в зависимости от порядка сомножителей.
Однако для целей векторного анализа гораздо удобнее оперировать
с вектором, представляющим эту площадку и являющимся как бы ее
дополнением в нашем трехмерном пространстве.
Такие векторы, связанные с направлением некоторого обхода, назы-
ваются аксиальными, осевыми, или псевдовекторами.
К числу их принадлежит, помимо вектора, представляющего пло-
щадку, и помимо векторного произведения двух обыкновенных или, как
их обычно называют, полярных векторов, еще, например, угловая
скорость вращения твердого тела, которую можно представлять вектором,
направленным по оси вращения о ту или другую сторону в зависимости
от наличия обхода вокруг оси в ту или другую сторону (отсюда название
аксиальный, или осевой, вектор).
Полярными же векторами являются, например, перемещение, ско-
рость, ускорение, сила.
Природу того или другого механического вектора можно узнать по
следующему правилу.
Отразим явление в плоскости, перпендикулярной к рассматривае-
мому вектору; если при этом направление, в котором протекает явле-
ние, изменится на обратное, то вектор есть полярный; если же направ-
ление явления останется прежним, то мы имеем дело с аксиальным век-
тором. Так, отражая векторное произведение двух полярных векторов
и плоскости составляющих векторов, мы последние, очевидно,не изменим,
явление не изменится, следовательно, векторное произведение двух по-
лярных векторов есть вектор аксиальный.
В качестве другого примера рассмотрим вращение твердого тела
вокруг оси.
Отражая явление вращения в плоскости, перпендикулярной оси вра-
щения, увидим, что вращение будет происходить опять в ту же самую
сторону, поэтому вектор угловой скорости мы должны считать вектором
аксиальным. Напротив, отражая вектор скорости точки в перпендикуляр-
ной к нему плоскости, мы увидим, что точка будет двигаться в обратную
сторону, следовательно, вектор скорости есть полярный вектор.
...
Заметим, что при зеркальном отображении и при инверсии левая
система координат переходит в правую и обратно, так что пока мы ос-
таемся и области одних левых или одних правых систем координат, ни-
какого различия между полярными и аксиальными векторами нет.
Когда же мы переходим от левой системы к правой или обратно, то
аксиальный вектор изменяет свое направление на прямо противоположное,
в то время как полярный вектор остается без изменения.
Это и вызывает то различие в поведении составляющих вектора, ко-
торое было выше указало.
Значение различия между аксиальными а полярными векторами
состоит в том, что, подобно тому как складывать, вычитать и приравни-
вать можно только величины одинаковой размерности, так точно векторы
разного рода не могут быть складываемы или сравниваемы. В самом
деле, иначе при переходе от левой системы координат к правой соста-
вляющие некоторых членов суммы или равенства изменили бы свой знак
на обратный, в то время как другие члены сохранили бы его, при этом
значение суммы изменилось бы, а равенство нарушилось.
Оказывается, что и скаляры, подобно векторам, надо делить на две
группы: скаляры первого рода, пли просто скаляры,
и скаляры второго рода или псевдоскаляры. Все
величины скалярного характера, получающиеся в результате измерения
какого-либо физического объекта, например масса, температура и т. д..
являются скалярами первого рода; напротив, некоторые из выражений,
получающихся в результате математических операций над векторами,
могут изменять свой знак на обратный при переходе от левой системы
к правой или от правой системы к левой.
Такие величины называются псевдоскалярами. Так, например, ска-
лярное произведение полярного и аксиального векторов является псевдо-
скаляром.

[мат-ламер]

Oleg Zubelevich в сообщении #625194 писал(а):

Ефимов Розендорн Линейная алгебра и многомерная геометрия

По оглавлению не нашёл. В параграфе про векторное произведение этот вопрос не рассматривается.

casualvisitor в сообщении #625247 писал(а):

Значение различия между аксиальными а полярными векторами состоит в том, что, подобно тому как складывать, вычитать и приравни- вать можно только величины одинаковой размерности, так точно векторы разного рода не могут быть складываемы или сравниваемы.

Во! Спасибо!

мат-ламер в сообщении #625177 писал(а):

то может энергия это не скаляр, а псевдоскаляр?

Как выяснилось, слово "псевдоскаляр" в физике уже занято (с совсем другим смыслом).

[Munin]

мат-ламер в сообщении #625177 писал(а):

Для чего в физике вводится понятие псевдовектора или аксиального вектора?

По историческим причинам. Сначала математики предложили физикам понятие вектора, и физики на радостях попытались впихнуть в него всё что можно, в том числе невпихуемое: угловую скорость, магнитное поле. А только потом, через десятки лет, математики предложили физикам понятие тензора и внешней формы. Оказалось, что в них всё впихивается проще и естественнее, но традицию очень трудно сломить. Кроме того, по недоразумению считается, что тензоры и внешние формы - это слишком высшая математика, чтобы давать её технарям, и физика для технарей по-прежнему излагается с векторами - а это гораздо больше студентов, чем будущие профессиональные физики.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Кстати, это совершенный оффтоп, но как же все-таки точно определить правую тройку векторов? Я могу взять три вектора в каком-то порядке, глянуть на них и сказать: "Ага, правая тройка" или "Ага, левая тройка". Но как это строго описать? Что именно такие тройки называют правыми? Отличить правую тройку от левой легко, значит, достаточно ввести эталонную правую тройку — как это сделать? Везде я видел лишь следующее: "гляньте на картинку, такие тройки называют правыми". Ну а если нету у меня картинки?

[Munin]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #625323 писал(а):

Кстати, это совершенный оффтоп, но как же все-таки точно определить правую тройку векторов? Я могу взять три вектора в каком-то порядке, глянуть на них и сказать: "Ага, правая тройка" или "Ага, левая тройка". Но как это строго описать? Что именно такие тройки называют правыми?

Абсолютно никак.

Можно сказать, что в пространстве $\mathbb{R}^3$ правая тройка векторов - это $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).$ Но если рассматривается какое-то пространство, изоморфное $\mathbb{R}^3,$ то правую тройку векторов в нём приходится выбирать произвольно (или по явно заданному изоморфизму), а все другие определять относительно неё.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Joker_vD, а разве это естественное понятие? Можно вместо этого, например, определить соориентированные и противоориентированные тройки векторов.

[Oleg Zubelevich]

мат-ламер в сообщении #625270 писал(а):

По оглавлению не нашёл.

купите очки: "Тензорные величины"

[мат-ламер]

Oleg Zubelevich в сообщении #625347 писал(а):

мат-ламер в сообщении #625270 писал(а):

По оглавлению не нашёл.

купите очки: "Тензорные величины"

Спасибо. Я не догадался просмотреть главу по группам.
Joker_vD
Я задавал похожий вопрос. http://dxdy.ru/topic60118.html. Оказывается можно.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #625365 писал(а):

Joker_vD
Я задавал похожий вопрос. topic60118.html. Оказывается можно.

Похожий, да не тот. В физике можно, в математике нельзя.

[obar]

мат-ламер в сообщении #625177 писал(а):

Для чего в физике вводится понятие псевдовектора или аксиального вектора? И является ли это понятие математически формализуемым? В математических книгах я это понятие не встречал.

Является ли данный вектор аксиальным или полярным является вопросом чисто экспериментальным и потому целиком лежит в плоскости физики. Например, из вида тензора $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ нельзя еще утверждать, что компоненты $F^{0i}=E_i$ образуют вектор, а $F^{ij}=H_k$ -- псевдовектор. Эти утверждения справедливы лишь при условии, что $A_\mu$ -- вектор (полярный). Последнее же является экспериментальным фактом. То же касается и других случаев (например, запись $\vec{c}=[\vec{a}\times\vec{b}}]$ не дает оснований считать вектор $\vec{c}$ аксиальным). В математике понятия "правое" и "левое" нельзя определить безотносительно от системы координат. В физике -- можно. Мир в зазеркалье отличается от нашего мира. В слабых взаимодействиях пространственная четность нарушается. Это дает возможность определить соответствующие понятия без апелляции к системе отсчета (по наблюдениям за распадами частиц. Правда, для этого требуется еще несохранение зарядовой четности (точнее $CP$-четности), что также происходит).

мат-ламер в сообщении #625270 писал(а):

casualvisitor в сообщении #625247 писал(а):

Значение различия между аксиальными а полярными векторами состоит в том, что, подобно тому как складывать, вычитать и приравни- вать можно только величины одинаковой размерности, так точно векторы разного рода не могут быть складываемы или сравниваемы.

Во! Спасибо!

Это, вообще-то, не так. Если нет физических ограничений на сохранение четности, то никто вам не запрещает складывать полярный и аксиальный векторы. Подобное имеет место в теории слабого взаимодействия, где в ланранжиане фигурирует сумма вектора и аксиального вектора.