Положительно определенный оператор. Унитарная матрица.

[Shem]

Помогите разобраться, как сделать, пожалуйста.

1) Пусть л.о. $A=A^*>0$. Доказать, что существует $A^-^1$, для которого выполнены условия $A^-^1=$(A^-^1)^*.$

2)Найти условие на вектор-столбец $x=(x_1,x_2,...,x_m)^T\neq0$, при выполнении которого матрица $U=E-2xx^*$ будет унитарной.

И еще одна.
3) Доказать, что если в комплексном пространстве $AB=BA$, то л.о. A и B имеют общий собственный вектор.


В 1) задаче не могу понять, с какой стороны к ней подходить.
Во 2) задаче попробовал использовать определение унитарной матрицы $UU^*=U^*U=E и поработать с получившимся выражением, но ничего толкового не вышло.
В 3) аналогично 1).

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Чтобы оттуда выбраться

1. Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

2. Приведите свои попытки решения задачи и объясните, что конкретно вызывает затруднения.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

________________
Всякий, кто поступил в университет, но не хочет сам учиться - враг своей страны, подрывающий ее научно-технический, интеллектуальный и оборонный потенциалы.
(c) по мотивам сообщения Yuri Gendelman.

[Toucan]

Вернул (неохотно).

[Xaositect]

Shem в сообщении #571502 писал(а):

В 1) задаче не могу понять, с какой стороны к ней подходить.

Попробуйте от противного.

Shem в сообщении #571502 писал(а):

Во 2) задаче попробовал использовать определение унитарной матрицы и поработать с получившимся выражением, но ничего толкового не вышло.

Странно, что не вышло. Какое выражение для $UU^{*}$ через $x$ у Вас получилось?

Shem в сообщении #571502 писал(а):

В 3) аналогично 1).

Как вариант, докажите сначала, что оператор $B$ инвариантен на собственном подпространстве оператора $A$