2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 
Сообщение31.03.2011, 15:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/12/05
3422
ewert
В пространстве $\mathbb Q$ возьмите интеравл $(0,1)$. Он предкомпактен, но не относительно компактен. А вот в полном пространстве, замкнутое множество само является полным пространством, поэтому пополнение множества совпадет с его замыканием в этом пространстве.

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение31.03.2011, 15:25 
Заслуженный участник


11/05/08
30887
Padawan в сообщении #429529 писал(а):
ewert
В пространстве $\mathbb Q$ возьмите интеравл $(0,1)$. Он предкомпактен, но не относительно компактен.

Ну поскольку, как Вы же и отмечали, вариантов определений чёрт знает сколько -- я просто не понимаю, что имеется в виду. В каком в точности смысле этот интервал предкомпактен -- и в каком не относительно компактен?...

Во всяком случае, если его замкнуть (т.е. добавить границы), то компактным он от этого не станет. Ни в смысле покрытий, ни в секвенциальном.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.03.2011, 15:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/12/05
3422
Пополнение метрического пространства $\mathbb Q\cap (0,1)$ (с метрикой $\pho(x,y)=|x-y|$) есть метрическое пространство, изометричное отрезку $[0,1]$, т.е. компактно. Поэтому множество $\mathbb Q\cap (0,1)$ предкомпактно. Замыкание еэтого множества в пространстве $\mathbb Q$ есть $\mathbb Q\cap [0,1]$, т.е. не компактно. Поэтому множество $\mathbb Q\cap (0,1)$ не является относительно компактным в пространстве $\mathbb Q$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.03.2011, 15:42 
Заслуженный участник


11/05/08
30887
Padawan в сообщении #429541 писал(а):
Пополнение метрического пространства ... Замыкание еэтого множества

Ну надо выбрать всё-таки что-то одно -- или рассматривать этот промежуток как самостоятельное пространство, или как подмножество. Пополнять подмножество -- бессмысленно.

Я на всякий случай напомню, с чего всё началось:

ewert в сообщении #429479 писал(а):
Padawan в сообщении #429474 писал(а):
Относительно компактное подмножество топологического пространства -- замыкание компактно.Предкомпактное метрическое пространство ( в частности, подмножество метрического пространства) -- пополнение компактно.
Это одно и то же -- там, где пересекается. Т.е. на подмножествах метрического пространства.

Я ведь специально оговорил, что речь именно о подмножествах (возможно, совпадающих с самим пространством). Именно потому, что пополнение и замыкание -- это принципиально разные понятия.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.03.2011, 15:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/12/05
3422
Подмножество метрического пространство само является метрическим пространством, поэтому его можно пополнить.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.03.2011, 16:06 
Заслуженный участник


11/05/08
30887
Padawan в сообщении #429550 писал(а):
Подмножество метрического пространство само является метрическим пространством, поэтому его можно пополнить.

Нельзя по сугубо формальным причинам -- просто потому, что понятие пополнения к подмножеству не применимо. До тех пор, пока оно рассматривается именно как подмножество. Надо выбрать что-то одно: или рассматривать его как подмножество -- или как самостоятельное пространство, но тогда про объемлющее пространство следует забыть, оно уже никакого отношения к делу иметь не будет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.03.2011, 16:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/12/05
3422
Подмножество метрического пространства называется предкомпактным, если оно предкомпактно, как метрическое пространство, т.е. его пополнение компактно. Равносильно - из любой последовательности можно извлечь фундаментальную подпоследовательность, равносильно - если оно вполне ограничено.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.03.2011, 16:29 
Заслуженный участник


11/05/08
30887
Padawan в сообщении #429556 писал(а):
Подмножество метрического пространства называется предкомпактным, если оно предкомпактно, как метрическое пространство, т.е. его пополнение компактно.

Ну, знаете, красиво жить не запретишь, и выдумывать можно разные определения, но это какая-то нелепость. Во-первых, почему бы не сказать прямым текстом: "если оно предкомпактно в пополнении пространства". Во-вторых, зачем об этом вообще говорить, если мы всё равно тем самым собираемся работать только в пополненном пространстве. Какая от такого определения польза для сельского-то хозяйства?

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение31.03.2011, 16:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/12/05
3422
ewert в сообщении #429567 писал(а):
"если оно предкомпактно в пополнении пространства"

можно и так

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.04.2011, 14:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/12/05
3422
Просто замыкание множества в пополнении пространства -- это и есть пополнение множества.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.04.2011, 18:40 


10/02/11
6786
что-то я не понял
Padawan в сообщении #429483 писал(а):
Это Вы сформулировали критерий предкомпактности -- множество предкомпактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено.


читаем Эдвардса:

Изображение

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.04.2011, 19:26 
Заслуженный участник


11/05/08
30887
Padawan в сообщении #429885 писал(а):
Просто замыкание множества в пополнении пространства -- это и есть пополнение множества.

Конечно. Но это не отменяет нелепости применения к подмножеству термина "пополнение", предназначенного именно для пространств.

Oleg Zubelevich в сообщении #430036 писал(а):
читаем Эдвардса:


Зачем?... Кто такой вообще Эдвардс?... Почему надо читать специально его?...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.04.2011, 19:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/12/05
3422
Знаю. А вот, например, Шефер пишет: "отделимое равномерное пространство называется предкомпактным, если его пополнение компактно".
Бурбаки в "Общая топология. Основные структуры" Глава II $\S 4$, п.2.
Определение 2. Равномерное пространство $X$ называется предкомпактным, если его отделимое пополнение $\hat X$ компактно. Множество $A$ в равномерном пространстве $X$ называется предкомпактным, если равномерное подпространство $A$ пространства $X$ предкомпактно.
Сразу же после определение текст (привожу для ewert-a)
"Таким образом, чтобы множество $A$ в равномерном пространстве $X$ было предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы замыкание в $\hat X$ множества $i(A)$, где $i\colon X\to \hat X$ -- каноническое отображение, было компактным"
и дана ссылка на место, где доказано, что замыкание $i(A)$ в $\hat X$ это и есть (с точностью, до изоморфизма, понятное дело) пополнение $A$.

-- Пт апр 01, 2011 21:49:05 --

Келли в "Общей топологии" даёт определение как у Эдвардса, только он наоборот пишет "называется вполне ограниченным (или предкомпактным), если..." и приводит теорему
Т е о р е м а. Равномерное пространство $(X,\mathfrak U)$ вполне ограничено в том и только в том случае, когда каждая направленность в $X$ содержит поднаправленность Коши.
Следовательно, равномерное пространство бикомпактно в том и только в том случае, когда оно вполне ограничено и полно.


-- Пт апр 01, 2011 21:52:02 --

В общем, есть как минимум три равносильных определения предкомпактности:
1) через вполне ограниченность
2) через направленности Коши
3) через пополнение (ну или замыкание в пополнении, если ewert-у так больше нравится)

 Профиль  
                  
 
 Re: Re:
Сообщение14.06.2012, 11:49 


14/06/12
56
alex1910 в сообщении #429103 писал(а):
2. Не понимаю, почему никто до сих пор не дал стандартного определения компактности: множество компактно, если из любого открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие.


Постоянно встречаю не полное определение компакта. Т.к
Критерий компактности: ( следующие условия для множества Х в Rn равносильны)
(1) оно замкнуто и ограничено;
(2) из всякой последовательности его точек можно извлечь под-
последовательность, сходящуюся к некоторой его точке;
(3) из всякого его покрытия открытыми множествами можно
извлечь конечное подпокрытие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компакт в матанализе
Сообщение14.06.2012, 15:06 


22/11/11
128
Мне кажется, что правильнее и логичнее отталкавиться от тех определений понятий, которые даются в наиболее общей ситуации.

Например, для топологического пространства $X$ множество $A\subseteq X$ называется компактным в $X$, если из любого открытого покрытия множества $A$ можна выделить открытое подпокрытие. И, соответственно, топологическое пространство $X$ называется компактным, если оно компактно в себе.

Множество $A$ в топологическом пространстве $X$ называется относительно компактным в $X$, если его замыкание в $X$ компактно.

Понятие предкомпатного множества вводится для равномерного пространства. Множество $A\subseteq X$ называется предкомпактным в равномерном пространстве $X$, если для любого окружения $U$ существует конечное множество $P\subseteq X$ такое, что для любого $a\in A$ существует $p\in P$ такое, что $(a,p)\in U$.

Различные характеризации этих понятий, которые имеют место зачастую при дополнительных условиях дают возможность определять эти понятия в некоторых классах пространств по другому. Но попытки перенести такие определения на более общий случай приводят к неправильным определениям. Например, неправильно для топологического пространства предкомпактным множеством называть множество, замыкание которого компактно. Это не стыкуется: с определением предкомпактного множества в равномерном пространстве, совпадает с определением относительно компактного множества, которое есть общепринятым в научной среде.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 70 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group