2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 
Сообщение31.03.2011, 09:30 
Заслуженный участник


11/05/08
31074
А чем, интересно, тут народ интересуется? Ясно же, что для пространства в целом компактность и предкомпактность -- это одно и то же. Не менее ясно, что понятие (пред)компактности интересно не столько для самого пространства, сколько для его подмножеств.

Я не могу сказать, чем был в своё время обусловлен выбор пары "компактность/компактность в себе" вместо "предкомпактность/компактность", но как минимум одно обстоятельство говорит в пользу первого варианта (хотя я его и не люблю): компактным называется оператор, у которого образ шара предкомпактен.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.03.2011, 10:21 
Аватара пользователя


15/08/09
1363
МПГУ (математический факультет)
ewert
Цитата:
А чем, интересно, тут народ интересуется?

Цитата:
Ясно же, что для пространства в целом компактность и предкомпактность -- это одно и то же.


Может вы дадите определение предкомпактного пространства. А то на протяжении этой темы, так никто его и не сформулировал, но постоянно пользуется этим понятием.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.03.2011, 10:34 
Заслуженный участник


11/05/08
31074
maxmatem в сообщении #429420 писал(а):
Может вы дадите определение предкомпактного пространства.

ewert в сообщении #429406 писал(а):
Ясно же, что для пространства в целом компактность и предкомпактность -- это одно и то же.

(Компактность или предкомпактность -- это изначально свойство множества, и уж лишь потом как частный случай -- свойство всего пространства.)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.03.2011, 10:45 
Аватара пользователя


15/08/09
1363
МПГУ (математический факультет)
ewert
Цитата:
предкомпактность -- это изначально свойство множества


В том, то и дело , что со множеством всё ясно, но как вы переносите свойство предкомпактности на всё пространство?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.03.2011, 11:02 
Заслуженный участник


11/05/08
31074
maxmatem в сообщении #429423 писал(а):
как вы переносите свойство предкомпактности на всё пространство?

Лично я никак не переношу -- из-за бесполезности этого занятия. Однако формально перенести нетрудно: всё пространство по определению замкнуто, т.е. по определению совпадает со своим замыканием и, следовательно, для него предкомпактность по определению равносильна компактности.

Это если подходить к делу формально. Но можно подойти и содержательнее: назвать пространство предкомпактным, если компактно его пополнение (во всяком случае, в метрическом случае; насколько осмысленно понятие пополнения в общетопологическом -- я не в курсе).

Только с моей точки зрения всё это -- лишь ненужная игра словами. Поскольку компактное пространство само по себе -- штука неестественная. Оно обычно всегда возникает как подмножество чего-то некомпактного; ну так надо об этом честно и говорить.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.03.2011, 11:11 
Аватара пользователя


15/08/09
1363
МПГУ (математический факультет)
Цитата:
всё пространство по определению замкнуто

Это где оно замкнуто? само в себе что ли.....

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.03.2011, 11:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015

(Мнение студента)

maxmatem в сообщении #429431 писал(а):
Это где оно замкнуто? само в себе что ли.....

$\varnothing$ открыто, а всё пространства -- дополнение к нему.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.03.2011, 11:37 
Заслуженный участник


11/05/08
31074
maxmatem в сообщении #429431 писал(а):
Это где оно замкнуто? само в себе что ли.....

А в чём же ещё -- если ничего другого, по предположению, и нет?...

Всё пространство всегда является замкнутым по определению топологии.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.03.2011, 12:28 


10/02/11
6786
А вот откуда это пошло: смешивать понятия относительной компактности и предкомпактности? Первоисточник интересен.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.03.2011, 12:41 
Заслуженный участник


11/05/08
31074
Oleg Zubelevich в сообщении #429455 писал(а):
А вот откуда это пошло: смешивать понятия относительной компактности и предкомпактности?

А разве это не одно и то же?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.03.2011, 13:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/12/05
3465
Относительно компактное подмножество топологического пространства -- замыкание компактно.
Предкомпактное метрическое пространство ( в частности, подмножество метрического пространства) -- пополнение компактно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компакт в матанализе
Сообщение31.03.2011, 13:28 


10/02/11
6786
Определение всетаки звучит по-другому. В лок. выпуклом линейном топ. пространстве (в произвольном топ. пространстве сложнее) $X$ множество $K\subset X$ наывается предкомпактным, если для любой абс. выпуклой окреcтности нуля $U$, множество $K$ можно покрыть конечнвым числом множеств $M_k$ таких, что если $x,y\in M_k$ то $x-y\in U$.
И теорема: если $X$ полно, то множество $K\subset X$ комактно тогда и только тогда когда оно замкнуто и предкомактно.

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение31.03.2011, 13:33 


21/07/10
555
Padawan в сообщении #429474 писал(а):
Относительно компактное подмножество топологического пространства -- замыкание компактно.
Предкомпактное метрическое пространство ( в частности, подмножество метрического пространства) -- пополнение компактно.


Если топология Хаусдорфова, то в топ. пространстве корректно определено понятие предельной точки, и, соотв.,понятие пополнения - присоединения к множеству всех своих предельных точек. Есть ли пример какого-то интересного (т.е. существующего не только для услады специалистов по общей топологии, но и применимого в математике) хаусдорфова пространства для которого пополнение не является замыканием.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.03.2011, 13:34 
Заслуженный участник


11/05/08
31074
Padawan в сообщении #429474 писал(а):
Относительно компактное подмножество топологического пространства -- замыкание компактно.Предкомпактное метрическое пространство ( в частности, подмножество метрического пространства) -- пополнение компактно.

Это одно и то же -- там, где пересекается. Т.е. на подмножествах метрического пространства.

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение31.03.2011, 13:36 


21/07/10
555
maxmatem в сообщении #429351 писал(а):
alex1910


Цитата:
И что вам было интересно?


Мне было интересно, как вы так лихо, хотя ещё не понятно как определили, предкомпактное пространство, свои соображения по поводу предкомпактного множества я высказал и они подкреплены определениями почти в любом учебнике по топологии, но насчёт пространства впервые слышу.


А я про пространства ничего и не говорил, так, для начала...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 70 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group