Компакт в матанализе

[ewert]

А чем, интересно, тут народ интересуется? Ясно же, что для пространства в целом компактность и предкомпактность -- это одно и то же. Не менее ясно, что понятие (пред)компактности интересно не столько для самого пространства, сколько для его подмножеств.

Я не могу сказать, чем был в своё время обусловлен выбор пары "компактность/компактность в себе" вместо "предкомпактность/компактность", но как минимум одно обстоятельство говорит в пользу первого варианта (хотя я его и не люблю): компактным называется оператор, у которого образ шара предкомпактен.

[maxmatem]

ewert

Цитата:

А чем, интересно, тут народ интересуется?

Цитата:

Ясно же, что для пространства в целом компактность и предкомпактность -- это одно и то же.

Может вы дадите определение предкомпактного пространства. А то на протяжении этой темы, так никто его и не сформулировал, но постоянно пользуется этим понятием.

[ewert]

maxmatem в сообщении #429420 писал(а):

Может вы дадите определение предкомпактного пространства.

ewert в сообщении #429406 писал(а):

Ясно же, что для пространства в целом компактность и предкомпактность -- это одно и то же.

(Компактность или предкомпактность -- это изначально свойство множества, и уж лишь потом как частный случай -- свойство всего пространства.)

[maxmatem]

ewert

Цитата:

предкомпактность -- это изначально свойство множества

В том, то и дело , что со множеством всё ясно, но как вы переносите свойство предкомпактности на всё пространство?

[ewert]

maxmatem в сообщении #429423 писал(а):

как вы переносите свойство предкомпактности на всё пространство?

Лично я никак не переношу -- из-за бесполезности этого занятия. Однако формально перенести нетрудно: всё пространство по определению замкнуто, т.е. по определению совпадает со своим замыканием и, следовательно, для него предкомпактность по определению равносильна компактности.

Это если подходить к делу формально. Но можно подойти и содержательнее: назвать пространство предкомпактным, если компактно его пополнение (во всяком случае, в метрическом случае; насколько осмысленно понятие пополнения в общетопологическом -- я не в курсе).

Только с моей точки зрения всё это -- лишь ненужная игра словами. Поскольку компактное пространство само по себе -- штука неестественная. Оно обычно всегда возникает как подмножество чего-то некомпактного; ну так надо об этом честно и говорить.

[maxmatem]

Цитата:

всё пространство по определению замкнуто

Это где оно замкнуто? само в себе что ли.....

[caxap]

(Мнение студента)

maxmatem в сообщении #429431 писал(а):

Это где оно замкнуто? само в себе что ли.....

$\varnothing$ открыто, а всё пространства -- дополнение к нему.

[ewert]

maxmatem в сообщении #429431 писал(а):

Это где оно замкнуто? само в себе что ли.....

А в чём же ещё -- если ничего другого, по предположению, и нет?...

Всё пространство всегда является замкнутым по определению топологии.

[Oleg Zubelevich]

А вот откуда это пошло: смешивать понятия относительной компактности и предкомпактности? Первоисточник интересен.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #429455 писал(а):

А вот откуда это пошло: смешивать понятия относительной компактности и предкомпактности?

А разве это не одно и то же?

[Padawan]

Относительно компактное подмножество топологического пространства -- замыкание компактно.
Предкомпактное метрическое пространство ( в частности, подмножество метрического пространства) -- пополнение компактно.

[Oleg Zubelevich]

Определение всетаки звучит по-другому. В лок. выпуклом линейном топ. пространстве (в произвольном топ. пространстве сложнее) $X$ множество $K\subset X$ наывается предкомпактным, если для любой абс. выпуклой окреcтности нуля $U$, множество $K$ можно покрыть конечнвым числом множеств $M_k$ таких, что если $x,y\in M_k$ то $x-y\in U$.
И теорема: если $X$ полно, то множество $K\subset X$ комактно тогда и только тогда когда оно замкнуто и предкомактно.

[alex1910]

Padawan в сообщении #429474 писал(а):

Относительно компактное подмножество топологического пространства -- замыкание компактно.
Предкомпактное метрическое пространство ( в частности, подмножество метрического пространства) -- пополнение компактно.

Если топология Хаусдорфова, то в топ. пространстве корректно определено понятие предельной точки, и, соотв.,понятие пополнения - присоединения к множеству всех своих предельных точек. Есть ли пример какого-то интересного (т.е. существующего не только для услады специалистов по общей топологии, но и применимого в математике) хаусдорфова пространства для которого пополнение не является замыканием.

[ewert]

Padawan в сообщении #429474 писал(а):

Относительно компактное подмножество топологического пространства -- замыкание компактно.Предкомпактное метрическое пространство ( в частности, подмножество метрического пространства) -- пополнение компактно.

Это одно и то же -- там, где пересекается. Т.е. на подмножествах метрического пространства.

[alex1910]

maxmatem в сообщении #429351 писал(а):

alex1910

Цитата:

И что вам было интересно?

Мне было интересно, как вы так лихо, хотя ещё не понятно как определили, предкомпактное пространство, свои соображения по поводу предкомпактного множества я высказал и они подкреплены определениями почти в любом учебнике по топологии, но насчёт пространства впервые слышу.

А я про пространства ничего и не говорил, так, для начала...