Доказать, что произведение коммутаторов - это коммутатор.

[galileopro]

Нужно доказать что произведение коммутаторов - это коммутатор
т. е. что существуют p и q такие, что aba-1b-1cdc-1d-1=pqp-1q-1

Я решал подбором p и q, но ничего не получилось. Состовил даже программу, которая предполагает, что p=abcd(или bcda, или b-1cda-1) и q также представлено, но она выдала результат, что утверждение не доказуемо. Но он должно быть доказуемо. Помогите пожалуйста разобраться.

[vlad239]

Это утверждение неверно.

Сами понимаете, иначе не говорилось бы, что коммутант - это подгруппа, ПОРОЖДЕННАЯ коммутаторами.

Влад.

[galileopro]

А в каких случаях оно верно?

Добавлено спустя 1 минуту 18 секунд:

Если a,b,c,d - елементы нормальной подгруппы H группы G, то оно верно? Или нет?

[VAL]

galileopro писал(а):

Нужно доказать что произведение коммутаторов - это коммутатор.
Я решал подбором p и q, но ничего не получилось.

И хорошо, что не получилось! Потому что произведение коммутаторов не обязано быть коммутатором. Пример (довольно нетривиальный) можно посмотреть, например, в книжке М.И.Кагаполов, Ю.И.Мерзляков "Основы теории групп", стр. 39

Добавлено спустя 3 минуты 45 секунд:

galileopro писал(а):

А в каких случаях оно верно?

Добавлено спустя 1 минуту 18 секунд:

Если a,b,c,d - елементы нормальной подгруппы H группы G, то оно верно? Или нет?

Учитывая, что сама группа является своей нормальной подгруппой. любые элементы группы являются элементами нормальной подгруппы

[vlad239]

Нет. Например, если эта нормальная подгруппа совпадает с $G$.

Есть предложение. Сообщите свою задачу. Тогда уже можно будет смотреть. В нынешнем виде оно неверно.

Влад.

[galileopro]

Спасибо огромное. Осталось 2 вопроса:
1 А для нормальных подгрупп про-е коммутаторов - всегда коммутатор?
2 Можно ли как-то подобрать все-же p и q так, чтобы оно выполнилось (не для всех a,b,c,d а для некоторых) Просто у меня сборника с этой задачей нет, но там в ответах они приводили какие-то p и q и все сходилось. Хоть попытаться-то можно?

[Schraube]

VAL писал(а):

galileopro писал(а):

Нужно доказать что произведение коммутаторов - это коммутатор.
Я решал подбором p и q, но ничего не получилось.

И хорошо, что не получилось! Потому что произведение коммутаторов не обязано быть коммутатором. Пример (довольно нетривиальный) можно посмотреть, например, в книжке М.И.Кагаполов, Ю.И.Мерзляков "Основы теории групп", стр. 39

Вопрос.
Этот пример конца 60-х.
Если мне не изменяет память, в книге читателю предлагается проверить 1024 равенства в некотором кольце.
Не сомневаюсь, что авторы их проверили.
А вот в оригинальной публикации тоже - "сделай сам"? Или эта проверка есть в тексте статьи?
Кто читал оригинальную статью?
С системами символьных вычислений-то тогда было ... нездОрово.

Кстати, интересная дискуссионная тема "о математических доказательствах, не допускающих экспертизу за разумное время".

Есть у меня один примерчик

[galileopro]

Ты не помнишь книгу? Или вообще где этот пример можно найти. Я пытался найти книгу, но не получилось. Там было некоторое условие, налагающееся на a,b,c,d.
Немогу понять, неужели нельзя найти такую комбинацию a,b,c,d, чтобы при перемножении получился коммутатор. Уже 4 программы написал. Одна вообще считала, что p и q содержат по 8 множителей из a,b,c,d или обратных, считала очень долго и ничего не нашла.

Добавлено спустя 48 секунд:

И примерчиком поделись плиз

[VAL]

Schraube писал(а):

VAL писал(а):

Потому что произведение коммутаторов не обязано быть коммутатором. Пример (довольно нетривиальный) можно посмотреть, например, в книжке М.И.Кагаполов, Ю.И.Мерзляков "Основы теории групп", стр. 39

Вопрос.
Этот пример конца 60-х.
Если мне не изменяет память, в книге читателю предлагается проверить 1024 равенства в некотором кольце.
Не сомневаюсь, что авторы их проверили.
А вот в оригинальной публикации тоже - "сделай сам"? Или эта проверка есть в тексте статьи?
Кто читал оригинальную статью?
С системами символьных вычислений-то тогда было ... нездОрово.

Там возникает группа из $2^{20}$ элементов. А найти в ней произведение двух коммутаторов, не являющееся коммутатором, предоставляется читателю в качестве легкого упражнения

Цитата:

Кстати, интересная дискуссионная тема "о математических доказательствах, не допускающих экспертизу за разумное время".

Вот кое-что на эту тему: http://elementy.ru/lib/164681

Цитата:

Есть у меня один примерчик

... но он не формулируется за разумное время

[galileopro]

А что за группа не помнишь? Или там тоже долго формулировать?

[VAL]

galileopro писал(а):

А что за группа не помнишь? Или там тоже долго формулировать?

Повторяю, пример довольно хитрый.
С помощью таблицы Кэли задается полугруппа из 10 элементов. Далее строится полугрупповое кольцо над полем ${\bf GF}(2)$. Далее рассматриваются матрицы 3х3, специального вида с элементами из полученного кольца. Эти-то матрицы и образуют группу по умножению, в которой имеется искомый контрпример.

Но сколь сложным бы ни был контрпример, его наличие гарантирует бесполезность написания программ для отыскания представления произведения двух произвольных коммутаторов в виде коммутатора.

[tolstopuz]

Есть две группы из 96 элементов с интересующим свойством.

http://faculty.evansville.edu/rm43/publ ... survey.pdf (Example 4.1)

[vlad239]

Интересно, а неужели нет простого доказательства того, что в свободной группе это не так? Понятно, что любой контрпример опровергает заодно и свободную группу, так что там это заведомо не так. А можно ли пробить ее с какой-то другой стороны?

Влад.

[tolstopuz]

vlad239 писал(а):

Интересно, а неужели нет простого доказательства того, что в свободной группе это не так?

В свободной группе это утверждение очевидно - приведенные формы слов можно сравнивать визуально.

[vlad239]

Откровенно говоря не понял. Ведь в произведении $ab$ возможны сокращения на границе слов.

Влад.